Ciągi. Na maturze za 5 pkt. Miś: Liczby a,b,c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93. Te same liczby w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a,b,c.

fruu: https://matematykaszkolna.pl/forum/28683.html szukanie nie boli

Eta: a,b,c −−− tworzą ciąg geom. => b²=a*c oraz : a+b+c = 93 i a, b=a+r, c=a+6r to 3a +7r= 93 i (a+r)²= a( a+6r) rozwiąż ten układ równań i podaj "a" i " r" i następnie a, b , c

Basia: a₁ = a a₂ = b a₃ = c ciąg geometryczny b=a*q c=a*q² a+a*q+a*q²=93 a(1+q+q²)=93

	1−q2
a*		=93
	1−q

a(1+q)=93 b₁=a b₂=b b₇=c ciąg arytmetyczny b=a+r c=a+6r a+a+r+a+6r=93 3a+7r=93 b=a+r b=a*q a+r=a*q a*q−a=r r=a(q−1) 3a+7a(q−1)=93 a[3+7q−7]=93 a(7q−4)=93 a(1+q)=a(7q−4) /:a 1+q = 7q−4 6q=5 q=⁵₆

	93		93*6
a =		=
	116		11

	93*6		5		93*5
b =		*		=
	11		6		11

	93*5		5
c =		*
	11		6

policz to sobie do końca

Eta: Coś nie tak , Basiu , musiałaś się pomylić w rachunkach dokończe zatem swoje rozwiązanie: ( nie jest takie "karkołomne" na jakie wygląda

	93−7r
a=
	3

	93−7r+3r		93−7r		93−7r+18
(		)2 = (		)(		) / *9
	3		3		3

( 93−4r)² =(93−7r)(93+11r) 93² −8*93r+16r²= 93² +4*93r−77r² 93r² −12*93r=0 / :93 r²−12=0 => r=0 v r= 12

	93
dla r =0 mamy ciąg stały a=		=31 , b= 31 c= 31
	3

	93−7*12
dla r= 12 a=		= 3 b= 3+12= 15 c= 3+6*12= 75
	3

Liczbami tymi są: 31, 31, 31 lub 3,15,75 spr. 31+31+31= 93 ok ...... i tworzą ciąg i arytm, i geomeytryczny 3 +15 +75 = 93 .. ok tworzą ciąg geom q=5 i są pierwszym , drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego a₁=3 r= 12

Basia: Masz rację, ale .... nie ma błędu w obliczeniach.... i to jest zadziwiające

Miś: dzięki. mam jeszcze jedno podobne

Miś: Zadanie: Wyznacz wzór na n−ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc że suma pierwszych 5 jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy 2,5 i 13 tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Wydi: Do Miś Od czasu do czasu patrz na moje zadania bo wrzucam z tego samego "zbioru" co Ty Pozdrawiam!

Wydi: http://www.zadania.info/d723/8250015

Basia: S₅=10

a1+a5
	*5 = 10
2

5(a₁+a₅) = 20 a₁+a₅ = 4 a₁+a₁+4r=4 2a₁+4r=4 a₁+2r=2 a₁ = 2−2r a₁+r, a₁+4r, a₁+12r ciąg geometryczny (a₁+4r)² = (a₁+r)(a₁+12r) (2−2r+4r)² = (2−2r+r)(2−2r+12r) (2+2r)²=(2−r)(2+10r) 4+8r+4r² = 4+20r−2r−10r² −6r²−10r=0 6r²+10r=0 2r(3r+5)=0 r=0 lub r = ⁵₃ a₁=2 lub a₁ = 2−¹⁰₃ = −⁴₃ stąd a_n = 2 lub a_n = −⁴₃ + (n−1)*⁵₃ = ⁵ⁿ⁻⁹₃

Basia: trzeci tam jest w treści, nie drugi; wynik nie może się zgadzać a ja też się gdzieś pomyliłam r=0 lub r=−⁵₃ a₁=2 lub a₁ = 2+¹⁰₃ = ¹⁶₃ a_n =2

	5(n−1)
an = 163+(n−1)(−53) = 163−		=
	3

−5n+21
3