Przekroje wielościanów - jak je rozpoznawać? Shizzer: Prostopadłościan ABCDEFGH, którego podstawą jest kwadrat o boku 4, a wysokość ma długość 6, przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi AB i BC oraz wierzchołek H. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Wiem, że tutaj jest rozwiązanie: https://matematykaszkolna.pl/forum/372680.html Moje pytanie jest następujące: Skąd miałbym wiedzieć, że przekrojem w tym zadaniu jest pięciokąt? Patrzyłem na link wrzucony przez Mile −> https://math-comp-educ.pl/przekroje-szescianu/ Na animacjach widać dlaczego przekrój jest pięciokątem, ale z czego to wynika? Muszę się nauczyć na pamięć tych animacji, żeby wiedzieć, że przekrój w tym zadaniu nie jest trójkątem takim jak narysowałem tylko pięciokątem? Jeśli trzeba tu polegać tylko na wyobraźni to przecież nie jest to oczywiste, że przekrój w tym przypadku jest pięciokątem.

ABC: jest oczywiste bo przecinasz PŁASZCZYZNĄ ,wiesz co to jest płaszczyzna?

Shizzer: Zrobiłem model i już wszystko widzę. Martwi mnie to, że na maturze modeli nie będzie

Saizou : Zastanów się przy takich zadaniach, czy możesz wyciąć nożem zaznaczony trójkąt?

Shizzer: Wyobrażam sobie, że tnę te bryły blachą, która zresztą odwzorowuje płaszczyznę. Tzn. rysując wcześniej ten rysunek powyżej miałem złe wyobrażenie płaszczyzny. Teraz myślę, że już łatwiej mi te przekroje zobaczyć

Mila: 1) Odcinek KL , odcinek SD' 2) Przekątne podstawy 3) OP⊥AC 4) Odcinek MN || AC i przechodzący przez punkt P, potem LM i KN 5) Odcinek MD' i ND' ================

Mila: II sposób 1) odcinek KL 2) Przekątne podstawy , Przedłużenie DC i DA, 3) Przedłużenie KL− otrzymujesz P₁ i P₂ 4) Przerywaną linią odcinek P₁D', Odcinek P₂D'− otrzymujesz punkty : M i N 5) Odcinki : LM, MD' ; KN, ND' ========================

Shizzer: Rozwiązałem to zadanie pierwszym sposobem. Szczerze mówiąc było dość trudne i wymagało ode mnie przynajmniej dość długiej analizy i nie chciałbym na takie trafić na maturze. Rozwiązanie (korzystam z rysunku 18:34): Po przecięciu prostopadłościanu płaszczyzną otrzymujemy pięciokąt składający się z trójkąta równoramiennego MND' oraz z trapezu równoramiennego MNKL. Pole pięciokąta będzie sumą pól trójkąta MND' i trapezu MNKL. 1) Wyznaczenie podstaw obu figur: Z tw. Pitagorasa dla trójkąta KLB: |KL|² = 8 |KL| = 2√2 |AC| = |DB| = 4√2 |MN| || |AC| ⋀ |MN| = |AC| ⇒ |MN| = 4√2 2) Wyznaczenie wysokości obu figur do policzenia ich pól: 1. △D'DS ~ △POS na podst. cechy KKK (*) 2. ΔACB ~ ΔKLB w skali k = 2 ⇒ |BS| to wysokość ΔKLB, ponieważ |BO| to wysokość ΔACB Z tw. Pitagorasa dla ΔKSB: |BS|² + (√2)² = 2² |BS|² = 2 |BS| = √2 |DS| = 4√2 − √2 = 3√2 Z tw. Pitagorasa dla ΔD'DS: 6² + (3√2)² = |D'S|² |D'S|² = 54 |D'S| = √54 = 3√6 |OS| = 2√2 − √2 = √2 (*) Z podobieństwa trójkątów ΔD'DS i ΔPOS:

|DS|		|OS|
	=
|D'S|		|PS|

3√2		√2
	=
3√6		|PS|

3√2|PS| = 6√3 |PS| = √6 ← Wysokość trapezu MNKL |D'P| = 3√6 − √6 = 2√6 ← Wysokość trójkąta MND' 3) Wyznaczenie pola pięciokąta KLMND':

	1		2√2 + 4√2
PKLMNH =		* 4√2 * 2√6 +		* √6 = 4√12 + 3√12 = 7√12 =
	2		2

= 14√3 I dziękuję za piękny rysunek

Mila: Można trochę krócej, może przed maturą wrócimy do tego, zapisz to sobie gdzieś

Shizzer: Zaznaczone