Współliniowość punktów w ostrosłupie - matura czerwiec 2014 Shizzer: Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 25. Ściany boczne ABS i BCS mają takie same pola, każde równe 250. Ściany boczne ADS i CDS też mają jednakowe pola, każde równe 187,5. Krawędzie boczne AS i CS mają równe długości. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Byłbym wdzięczny za wytłumaczenie mi dlaczego w tym https://matematykaszkolna.pl/forum/255466.html rozwiązaniu punkty K i L są współliniowe ze spodkiem wysokości? Muszę sobie to jakoś wyobrazić przestrzennie czy jest na to jakaś reguła?

Shizzer: Oo już chyba wiem. Czy to wynika z rzutów prostokątnych wysokości przeciwległych ścian bocznych na płaszczyznę podstawy?

f123:

f123: zastanowiles sie dwa razy zanim zadales to pytanie

Shizzer: Dziś już długo robiłem zadania, a to jedno nie daje mi spokoju. Chciałbym się po prostu dowiedzieć skąd wynika współliniowość tych punktów. Nie wiem czy poprawne pytanie zadałem, ale naprawdę już jestem dziś zmęczony

f123: "wyciagasz" trojkat z wysokoscia ostroslupa. Bogdan narysowal tam ten trojkat. to K, E, L sa wspoliniowe

Shizzer: Chyba się nie zrozumieliśmy − ja doskonale widzę tam ten trójkąt. Chodziło mi jedynie o to dlaczego punkt E jest współliniowy z K i L. Konkretniej: Mamy punkty padania wysokości oznaczone jako K i L. Następnie łączymy je prostą natomiast nie mogłem zrozumieć dlaczego ta prosta przecina spodek wysokości ostrosłupa? Czy nie mogłoby być tak w jakimś przykładowym ostrosłupie o innych parametrach, że prosta łącząca punkty na które upadają wysokości NIE przecięłaby spodka wysokości?

Mila: a=25 |AC|=25√2 Ostrosłup jest "przechylony " w kierunku ściany SDC O − rzut prostokątny punktu S na płaszczyznę Tw. o trzech prostopadłych: Prosta m jest prostopadła do prostej k, wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej k'. Narysowano wysokość h₁, h₁⊥BC − to jest oczywiste , OL jest rzutem prostokątnym h₁ na płaszczyznę ABCD Dalej mamy: KL⊥BC i KL⊥AD, LO jest rzutem prostokątnym h₁ na płaszczyznę ABCD OK jest rzutem KS na płaszczyznę ABCD ⇔KS⊥KL

Shizzer: Na ten moment ciężko mi przychodzi zrozumienie tego zagadnienia. Jak powinny wyglądać moje kroki w "konstruowaniu" takiego ostrosłupa? Czy tak? 1. Wyznaczam spodek wysokości ostrosłupa i szkicuję jego wysokość 2. Szkicuję wysokość h1, która pada obojętnie w jakim punkcie na ramię BC. 3. Rzut prostokątny h1 ma płaszczyznę podstawy I teraz właśnie w mojej głowie pojawia się pytanie "W jakim dokładnie punkcie wysokość h2 powinna upadać?". Tego nie potrafię jeszcze wykonać. Rozumiem, że jestem w stanie ten punkt padania h2 wyznaczyć posługując się twierdzeniem o trzech prostych prostopadłych? Wiem Milu, że próbowałaś mi to wyjaśnić, ale na ten moment jeszcze nie umiem tego sposobu myślenia przyswoić. Jeśli moje kroki są dobre to jutro spróbuję to przemyśleć jeszcze raz

Mila: 1) Szkicujesz Ostrosłup i wiesz, że spodek wysokości nie znajduje się na przecięciu przekątnych podstawy 2) Szkicujesz h₁ i jej rzut na ABCD, masz pkt O 3) prowadzisz prostą przez ten rzut − masz punkt K 4) Rysujesz h₂ Poprawiasz rysunek i rozwiązujesz. Do jutra, może wymyślę ćwiczenie , abyś lepiej zrozumiał. Dobranoc

Shizzer: Dzień dobry Zregenerowałem mózg i chyba na coś wpadłem. Oto jak rozumiem współliniowość punktów L, O i K (przepraszam za oznaczenia małymi literami, ale nie wiem jak napisać wielkie). 1. Szkic ostrosłupa − nie jest to ostrosłup prawidłowy zatem jego spodek wysokości nie znajdzie się w punkcie przecięcia się przekątnych podstawy. 2. Szkicuję h1 i jej rzut prostokątny na płaszczyznę ABCD, dzięki temu otrzymuję punkt O. 3. W tym momencie mamy sytuację, w której mogę skorzystać z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych. Zatem na moim rysunku mamy: m ⊥ h1 ⇔ m ⊥ k. 4. Po drugiej stronie wysokości ostrosłupa mamy taką samą sytuację. Skoro ABCD to kwadrat zatem znów pojawia się prosta m. Więc: m ⊥ h2 ⇔ m ⊥ k. Z kroków 3 i 4 wynika, że punkty K, O, L są współliniowe. Czy tak to powinienem rozumieć?

Shizzer: Poprawka w punkcie 4 −> tam nie pojawia się oczywiście taka sama prosta m tylko prosta równoległa do prostej m znajdującej się po drugiej stronie kwadratu ABCD.

Bogdan: Wielkie litery jak zwykle zapisujemy z wciśniętym klawiszem Shift

Shizzer: Szczerze mówiąc zawsze pisałem je z przyciskiem Caps Lock naciśniętym Będę wiedział na przyszłość

Mila: Shizzer , dzień dobry. Najprościej tutaj to będzie, jeśli przetniesz ostrosłup płaszczyzną prostopadłą do ABCD wyznaczoną przez punkty: S, O i taką, aby krawędź przecięcia była równoległa do AB.

Shizzer: Tą płaszczyzną jest trójkąt KLS. Tylko gdybym przeciął ostrosłup taką płaszczyzną znów zastanawiałbym się czy ramiona tej płaszczyzny na pewno są prostopadłe do krawędzi podstawy ostrosłupa. Dzięki twierdzeniu o trzech prostych prostopadłych już wiem, że są co daje mi w rezultacie zrozumienie dlaczego K, O i L są współliniowe

Shizzer: Ale rzeczywiście jeśli pomyślę o trójkącie KLS jako o płaszczyźnie tnącej ostrosłup jest łatwiej zatem dziękuję

Mila: K,O,L −współliniowe, to znasz długość odcinka KL.

Shizzer: Tak wynosi ona 25. Rozwiązałem już to zadanie dziś rano. Wrzucę to może ktoś skorzysta: Punkty K, O, L są współliniowe co wynika z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych: |BC| ⊥ |OL| ⇔ |BC| ⊥ |SL| zatem |BC| ⊥ |OL| i |BC| ⊥ |SL| Skoro |AD| || |BC| to taka sama sytuacja dzieje się na ścianie ADS. P△BCS = P△ABS = 250 P△ADS = P△DCS = 187,5

⎧	12 * 25 * h1 = 250
⎩	12 * 25 * h2 = 187,5

⎧	h1 = 20
⎩	h2 = 15

△KLS jest trójkątem pitagorejskim powiększonym o skalę k = 5 ⇒ |∡KSL| = 90^o Wewnątrz tego trójkąta prostokątnego mamy wysokość ostrosłupa, którą oznaczyłem jako H.

⎧	x2 + H2 = 152
⎩	(25 − x)2 + H2 = 202

⎧	H2 = 152 − x2
⎩	(25 − x)2 + (152 − x2) = 202

Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy x = 9. Podstawiając obliczony x do układu równań obliczymy H potrzebne do obliczenia V. H = 12 V = ¹₃ * 25² * 12 = ⁶²⁵₃ * 12 = 2500

Mila: H− można obliczyć tak: ΔKLS− Δprostokątny o bokach 15,20, 25 ( co zauważyłeś i nie wykorzystałeś)

	1
PΔKLS=		*15*20=150
	2

	1		1
PΔKLS=		*|KL|*H⇔		*25*H=150
	2		2

H=12

Shizzer: Umknęło mi to, a byłoby dużo szybciej. Dziękuję raz jeszcze!

Mila: