maraton #3 Saizou : Zadanie poprzednie: https://matematykaszkolna.pl/forum/399028.html godz. 13:08 Ile liczba całkowitych spełnia nierówność n⁴ − n³ − 3n² − 3n − 17 < 0?

salamandra: typowo trzeba we wzory skróconego mnożenia uderzyć?

f123: 4?

Saizou : Odpowiedź to 4 salamandra kombinuj

Saizou : To czekam na rozwiązani.

salamandra: n³(n−1)−3n(n−1)−17< nie wiem jak tej 17−tki się pozbyć lub rozbić ją, tak, żeby pasowało jakoś

f123: w drugim nawiasie (n + 1)

Jerzy: Źle rozkładasz na czynniki.

salamandra: a, no to już swoją drogą

Saizou : Podpowiem, że pierwiastków tego równania raczej nie wyznaczycie

salamandra: n⁴−3n²−n³−3n−17<0 n²(n²−3)−n(n²+3)−17<0 może w tym kierunku lepiej nie lubię takich zadań

f123: @saizou zrobilem to troche na jerze, podstawiajac wartosci i patrzec jak sie zachowuje jesli podstawimy coraz wiekszy n a coraz mniejsze n

Saizou : @f123 a skąd wiesz czy dla n=100034 nie ma wartości mniejszej niż zero?

f123: @Saizou dlatego mowie, ale zadania za trudne na "dzisiejsza" mature

Saizou : wg mnie to trochę za trudne zadanie jak na maturę może osoba, która to zadała podpowie w jakiś licealny sposób.

f123: @saizou a to nie ty zadales?

Saizou : NIe, ja tylko przekopiowałem zadanie z linku. Ode mnie było zadanie rozwiąż nierówność w przedziale (0, π) tg 2x < 2sinx

Szkolniak: A dałoby radę gdybyśmy rozpatrzyli najpierw przypadek bez tej '17' a potem przesunęli cały wielomian?

PW: n⁴−16 − (n+1)³ < 0 (n*2−4)(n²+4) < (n+1)³ (n−2)(n+2)(n²+4) < (n+1)³ Liczby całkowite 1 i 2 spełniają bierówność. Widać jeszcze jakieś?

Saizou : Przesunięcie wzdłuż osi OY zmienia nam wartości, wiec wpłynie na miejsca zerowe, jeśli o to ci chodzi

Saizou : jeszcze 0 i −1

Saizou : Wolfram się pomylił

Szkolniak: Myślałem że symetrycznie z obu stron będą nam się "dokładać" po jednym rozwiązaniu aż do 17 − ale patrzę na geogebrze i jednak to tak nie działa

Saizou : a nie, jest okej. n∊{−1, 0, 1, 2}

f123: @PW wlasnie doszedlwm do takiej postaci, ale nie wiedzialem co dalej, dzieki

Szkolniak: Bo na przykład gdybyśmy wzięli nierówność x²≤0 to jedyna liczba całkowita Spełniając dana nierówność to 0 Biorąc teraz x²−1≤0 dokładasz po jednym z lewej i z prawej, czyli {−1,0,1} Ale żeby tak się działo to funkcja musi być parzysta, dobrze myślę?

PW: No dobrze, cztery rozwiazania całkowite są widoczne w sposób oczywisty. Jak pokazać, że nie ma ich więcej? Dopiero wtedy rozwiązanie będzie poprawne.

Saizou : PW można zbadać liczbę pierwiastków z tw. Sturma.

Saizou : ale spróbować zbadać monotoniczność

PW: A pomyślmy jak maturzysta. (n−2)(n+2)(n²+4) < (n+1)³. Dla n = − 2 nierówność przyjmuje postać 0 < (−1)³ − jest fałszywa. Dla n < − 2 po lewej stronie jest iloczyn dwóch czynników ujemnych i trzeciego dodatniego − lewa strona jest dodatnia, podczas gdy prawa strona jest ujemna. Nierówność jest fałszywa. A jak będzie dla n > 2?

PW: Oj, takie proste. Pewnie że nietypowe (uczeń chciałby nierówność rozwiązać, a tu trzeba pokazać, że nie ma rozwiązań).

PW: n⁴ − 16 < (n+1)³

	16		1
n −		< (1 +		)3 dla n ≥3
	n3		n

A teraz?