maturka
maturka:
Zad 1/
Bez wykonywania dzielenia
Wykaż,że wielomian W(x)= (x
2+x+1)
3−x
6−x
3−1
jest podzielny przez ( x+1)
2
Zad2
Wielomian W(x)= (x
3−5x+1)
n+(x
3−3x−1)
n
z dzielenia przez dwumian x−2
daje resztę R
taką,że R= U{2}{
√3*tg20
o*tg40
o*tg80^
Wyznacz wszystkie wartości naturalne "n"
tylko dla
maturzystów!
Powodzenia
27 mar 12:53
f123: Czy w pierwszym mozna to tak udowodnic?
W(x) = (x + 1)2((x2 + x + 1)2 + x2(x2 + x + 1) + x4 − x2 + x − 1)
27 mar 12:58
f123: Doszedlem do tego tak:
W(x) = (x2 + x + 1)3 − (x2)3 − (x3 + 1)
27 mar 12:59
salamandra: 1. To, że jest podzielny przez (x+1)2, to znaczy, że jego pierwiastkiem jest −1.
(1−1+1)3−1+1−1=1−1+1−1=0
tyle?
27 mar 13:00
f123: @salamandra nie wiem czy tak mozna
27 mar 13:02
Saizou : w taki sposób pokazujesz, że dzieli się przez x+1, a nie (x+1)2
27 mar 13:03
f123: @salamandra −1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, czyli musialabys jeszcze pokazac, ze wielomian
P(x) = W(x) : (x + 1), P(−1) = 0
27 mar 13:03
f123: @salamandra, dlatego lepiej rozbic ze wzorow skroconego mnozenia i wylaczyc wspolny czynnik
przed nawias
27 mar 13:04
Eta:
27 mar 13:04
Jerzy:
@f123 , można na mocy twierdzenia.
27 mar 13:04
f123: @Eta a moj sposob jest poprawny?
27 mar 13:04
Jerzy:
Upss ... tam jest kwadrat.
27 mar 13:05
Eta:
Masz wykazać ,że x= −1 −− jest pierwiastkiem dwukrotnym
I teraz już z górki...........
27 mar 13:06
salamandra: Zaryzykowałem, że Eta mogła dać łatwe zadanie.... wiem, że dwukrotny ale myślałem, że to tu
również zadziała
27 mar 13:06
f123: @Eta dokladnie, wystarczyloby dodac komentarz
27 mar 13:07
salamandra: No to trzeba rozbić pewnie tak, żeby z tego wielomianu gdzieś się trafił nawias (x+1)2
27 mar 13:07
Eta:
łatwych nie daję
jeno podchwytliwe
27 mar 13:07
Eta:
A czy maturzyści znają pochodne ?
I wiedzą jak je tutaj wykorzystać ?
27 mar 13:08
salamandra: Tutaj pochodna
27 mar 13:09
Eta:
Jaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaasne ,że taaaaaaaaaaaaak !
27 mar 13:10
salamandra: Ale co maja ekstrema do tego, że pierwiastek jest parzystokrotny
27 mar 13:11
Eta:
w zad2\ poprawiam zapis:
27 mar 13:11
f123: @Eta jesli @salamandra nie miala w szkole pokazane, jak obliczyc pochodna funkcji zloznoej to
sie nameczy strasznie
27 mar 13:12
f123: @Eta tangensy sa w liczniku czy w mianowniku?
27 mar 13:13
Eta:
Ale mam z Wami
27 mar 13:13
Eta:
Zad2/ już poprawiłam zapis
27 mar 13:14
f123: @Eta jakas podpoweidz do tego jak uproscic R?
27 mar 13:30
Eta:
Na razie myśl do skutku
kto powiedział,że będzie tak łatwo ?
Zostawiam Ci jeszcze czas ...... ( a ja idę na obiadek
27 mar 13:45
salamandra: A co z tym pierwszym w końcu
?
27 mar 13:47
f123: @salamandra masz moje rozwiazanie na gorze przy uzyciu wzorow skroconego mnozenia, ktore jest
poprawne
27 mar 13:48
salamandra: Aha, No bo spytałem się czy trzeba to rozbić i nie otrzymałem odpowiedzi dlatego pytam
27 mar 14:02
salamandra: f123 mógłbyś bardziej szczegółowo rozpisać jak rozłożyłeś ten wielomian? byłbym wdzięczny
27 mar 14:37
Eta:
Podam takie rozwiązanie
Jeżeli w(x) dzieli się przez (x+1)
2
to liczba −1 jest dwukrotnym pierwiastkiem tego wielomianu
zatem jest też pierwiastkiem jego pochodnej
W
'(x)= 3(x
2+x+1)
2*(2x+1) −6x
5−3x
2
sprawdzamy czy:
W
'(−1)=0
.............
tak W
'(−1)=0
zatem W(x) jest podzielny przez (x+1)
2
koniec dowodu
Jak widać pochodne przydały się
27 mar 14:44
salamandra: i jak wstawiamy do pochodnej to nie obchodzi nas czy jest to dwukrotny pierwiastek, W(−1)=0 w
tym momencie załatwi sprawę?
27 mar 14:45
Eta:
Zobacz co napisała wyżej !
i zapamiętaj
liczba "r" jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu
jeżeli jest pierwiastkiem W(x) i pierwiastkiem W'(x)
Liczba jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)
jeżeli jest też pierwiastkiem W'(x) i W"(x)
itd..........
27 mar 14:50
salamandra: przyznam, że nie znałem takiego twierdzenia
27 mar 14:51
27 mar 14:59
Eta:
I jak
f123 z zad 2 ? .... spasowałeś ?
27 mar 15:01
matmax: @salamandra nadal chcesz?
27 mar 15:03
salamandra: tak, chętnie
27 mar 15:03
Eta:
@
Z[salamandra
jeszcze czeka na rozwiązanie
zad z wczoraj z liczbą
2020 i
2021
27 mar 15:04
Eta:
Czyżby
matmax=
f123 ?
27 mar 15:05
f123: @Eta tak to ja, tyle ze tutaj jestem na komputerze a tam na telefonie, zadanie drugie
probowalem, ale nic nie wyszlo, jak zjem i pocwicze to wracam rozwiazywac. Ogolnie probowalem
| | sinx | |
te tg zamienic na |
| |
| | cosx | |
27 mar 15:06
f123: @Eta z ta liczba tez mi cos nie wychodzilo, probowalem zamiast 2021 podstawic (2020 + 1)
27 mar 15:07
Saizou : Podstawcie a =2020 i sprobujcie
27 mar 15:11
Eta:
Hej
Saizou 
27 mar 15:12
f123: @salamandra
(x
2 + x + 1)
3 − (x
2)
3 − (x
3 + 1
3) =
(x
2 + x + 1 − x
2)((x
2 + x + 1)
2 + x
2(x
2 + x + 1) + (x
2)
2) − (x + 1)(x
2 − x + 1) =
(x + 1)((x
2 + x + 1)
2 + x
2(x
2 + x + 1) + (x
2)
2) − (x + 1)(x
2 − x + 1) =
(x + 1)(3x
4 + 3x
3 + 3x
2 + 3x) =
(x + 1)(3x
3(x + 1) + 3x(x + 1) =
(x + 1)
2(3x
3 + 3x)
prosze
27 mar 15:15
f123: @Saizou tez probowalem, ale skoro jest to jakis sposob to zaraz zobacze raz jeszcze
27 mar 15:16
Eta:
dla
f123 za zadanie 1
27 mar 15:18
f123: @Saizou czyli po podstawieniu otrzymam cos takiego:
a2 + (a(a + 1))2 + (a + 1)2
27 mar 15:21
salamandra: skąd w drugiej linicje w pierwszym nawiasie się wzięło −x2?
27 mar 15:21
Saizou :
Cześć Eta, to tylko wskazówka.
Pamiętajcie, że w tym zadaniu Eta dopisała poprawkę
27 mar 15:21
f123: @salamandra a3 − b3
27 mar 15:23
f123: @Saizou ktore? To, aby udowodnic ze liczba ... jest kwadratem liczby naturalnej?
27 mar 15:24
salamandra: i twoim "a" jest pierwszy nawias, a "b" drugi, czyli (x2)3?
27 mar 15:24
f123: @salamandra tak
27 mar 15:24
Saizou :
Udowodnij, że liczba
20202+(2020•2021)2 + 20212
jest kwadratem liczby naturalnej
27 mar 15:26
matmax: Mam to
, sprawdze i dodaje rozwiazanie
27 mar 15:35
f123: a = 2020
a
2 + (a(a + 1))
2 + (a + 1)
2 =
a
2 + a
2(a
2 + a + 1) + a
2 + 2a + 1 =
a
4 + 2a
3 + 3a
2 + 2a + 1 =
(a
2 + a + 1)
2
27 mar 15:38
Eta:
Popraw błędy
27 mar 15:40
matmax: @Eta ups, 2a powinno byc w pierwszym nawiasie
27 mar 15:41
Eta:
27 mar 15:41
matmax: @Eta uff dobra, teraz czas na tangesny
27 mar 15:42
Eta:
Działaj , działaj ........to zad2
27 mar 15:44
ZKS:
Ojej, pamiętam tę resztę
Eta.
27 mar 15:44
Saizou : ...= 2
27 mar 15:46
salamandra: L=tg20*tg40*tg80
| | sin20 | | sin40 | | sin80 | |
L= |
| * |
| * |
| = |
| | cos20 | | cos40 | | cos80 | |
| | sin20 | | 2sin20cos20 | | 2sin40cos40 | |
= |
| * |
| * |
| = |
| | cos20 | | cos40 | | cos80 | |
| | 2sin40 | |
=sin20*2sin20* |
| =2sin20*2sin40 |
| | sin20 | |
tędy do celu jakoś?
27 mar 15:50
f123: @salamandra to samo probowalem, ale wlasnie nigdzie mnie to nie zaprowadzilo
27 mar 15:51
Saizou :
To macie podpowiedź
√3=tg60
oraz
tg40=tg(60−20)
tg(80)=tg(60+20)
27 mar 15:52
f123: moze jakies mnozenie przez wyrazenia sprezone?
27 mar 15:53
salamandra: widzę błąd, skróciłem sin20 z cos80.
27 mar 15:53
salamandra: trzeba zastosować wzór tg(α+β)?
27 mar 15:58
f123: @salamandra kombinuj, na maturze nikt ci nie da odpowiedzi na tacy, ja wlasnie siadam
27 mar 15:59
ZKS:
f123 wyrażenie sprężone?
27 mar 16:01
f123: @salamandra i jak> znalazles rozwiazanie? Ja jeszcze nie
27 mar 16:08
salamandra: tylko rozpisałem ze wzoru tg(α+β) i pustka też
27 mar 16:11
Saizou :
To kolejna podpowiedź
tg60=tg(3•20)
27 mar 16:13
ZKS:
Łatwe jeśli się wie, że:
tg(60
o − x)tg(x)tg(60
o + x) = tg(3x).
27 mar 16:16
salamandra: dobrze, że to dodałeś, "jeśli"
27 mar 16:16
ZKS:
Dodatkowe zdanie w takim razie wyprowadź to, wtedy na pewno będziesz widział ten wzór.
27 mar 16:17
salamandra: najpierw trzeba w ogóle znać funkcje potrojonego kąta, nasza podstawa obejmuje tylko podwojone
27 mar 16:19
f123: czy n ∊ (...−6, −4, −2, 0, 2, 4, 6...)?
27 mar 16:20
Saizou :
tg20•tg40•tg80•tg60=
tg20•tg(60−20)•tg(60+20)•tg60=
| | tg60−tg20 | | tg60+tg20 | |
tg20• |
| • |
| •tg60= |
| | 1+tg20•tg60 | | 1−tg20•tg60 | |
| | tg260−tg220 | |
tg20 • |
| •tg60 = |
| | 1−(tg20 •tg60)2 | |
| | 3−tg20 | |
tg20• |
| •tg60= |
| | 1−3tg220 | |
| 3tg20−tg320 | |
| •tg60= |
| 1−2tg220 | |
tg(3•20)•tg60=
tg60•tg60=3
zatem ...
27 mar 16:22
salamandra: i to jest ta reszta?
27 mar 16:26
f123: | | 3tgx − tg3x | |
tg(3 * x) = |
| |
| | 1 − 2tg2x | |
To jest wzor na tanges potrojonego kata? Niestety podstawa programowa tego nie obejmuje
27 mar 16:26
ZKS:
salamandra znasz chyba tg(3x) = tg(2x + x)?
27 mar 16:32
ZKS:
Zatem:
| 2 | | 2 | |
| * tg(60o) = |
| * √3 = 2 |
| √3 | | √3 | |
27 mar 16:34
Saizou :
Jak to? Cytat z podstawy programowej
"stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów
kątów"
sin(3x)=sin(2x+x)=sin(2x)cosx+cos(2x)sinx
i dalej można rozpisać, analogicznie coś(3x)
27 mar 16:34
salamandra: nie mamy potrojonego kąta, bynajmniej ja nie miałem i w tablicach również jest tylko do
podwojonego.
27 mar 16:35
ZKS:
Dokładnie.
27 mar 16:35
ZKS:
Bynajmniej ≠ przynajmniej.
27 mar 16:36
salamandra: Tak, wiem, użyłem "bynajmniej" w sposób poprawny
27 mar 16:37
Saizou :
jak dla mnie to zadanie na maturę trochę za trudne
27 mar 16:38
f123: No to wszystkie zadania maturalne wrzucone dla nas z dzisiaj i wczoraj rozwiazane, jak ktos cos
ma jeszcze ciekawego moze wrzucic
27 mar 16:43
salamandra: Co zrobić z tą wyliczoną resztą?
wstawić za "x" "−2" i to ma się równać tej reszcie tak?
27 mar 16:44
f123: @salamandra jest twierdzenie, W(2) = 2
27 mar 16:48
salamandra: Tfu, 2 oczywiście a nie −2
27 mar 16:48
salamandra: W(2)=2? Pierwsze słyszę, chyba R?
27 mar 16:51
f123: @salamandra oczywiscie, tyle ze ja juz podstawilem za R, 2
27 mar 16:51
27 mar 16:54
27 mar 16:55
Eta:
tg60
o=?
27 mar 16:57
Eta:
No to widzę,że
Saizou i
ZKS nie zapomnieli zadań
Ety 
27 mar 16:59
salamandra: | | 2 | |
Przecież tg60 tam nigdzie nie ma, wyjściowo jest |
| *tg20*tg40*tg80? |
| | √3 | |
27 mar 17:02
f123: @salamandra przeoczyles obliczenia seizu
27 mar 17:03
ZKS:
tg(20o)tg(40o)tg(80o) = tg(60o)
27 mar 17:03
Eta:
tg20o*tg40o*tg80o=tg60o
27 mar 17:04
salamandra: Nie, ale nie wiem skąd u niego się pojawiło tg60
27 mar 17:04
ZKS:
Jasne takich rzeczy się nie zapomina, tylko jeszcze później doskonali, aby dostać najprostsze
rozwiązanie.
27 mar 17:05
Eta:
Przeanalizuj wpis Saizou 16:22
27 mar 17:06
ZKS:
Wyprowadź wzór tg(3x) = tg(2x + x) = ...
27 mar 17:06
ZKS:
Eta mojego wielomianu żaden z maturzystów nie chce ruszyć.
27 mar 17:07
Eta:
Właśnie widzę
27 mar 17:08
ZKS:
Na to samo kopyto.
Oblicz wartość wyrażenia:
W = sin(20o)sin(40o)sin(60o)sin(80o).
27 mar 17:09
Eta:
27 mar 17:10
salamandra: Ja rozumiem co zrobił Saizou ale co u niego robi na końcu tg60
27 mar 17:12
salamandra: Mam słabszy moment od dwóch dni, ale do cholery nie wiem skąd on wziął sobie tg60, to ze
tg20*tg40*tg80=tg60 to już widzę
27 mar 17:13
Eta:
Zad3
Rozwiąż równanie:
(x+1)(x+3)(x−2)(x−6)−91x
2=0
Nie podpowiadać maturzystom !
27 mar 17:13
Saizou :
Eta ja chyba go nie dostałem
27 mar 17:15
ZKS:
27 mar 17:18
f123: | | 2 | | 2 | |
@salamandra |
| = |
| , tg60 = √3 |
| | √3 | | tg60 | |
27 mar 17:18
Eta:
@
Saizou
Trzaskałeś prawie
wszystkie zadania , to pewnie Ci dlatego odpuściłam
27 mar 17:22
ZKS:
To w takim razie i jeszcze takie.
Rozwiąż równanie:
(x
2 + 9x − 6)
2 + 9(x
2 + 9x − 6) − 6 = x.
Eta, a takie równanie pamiętasz?
27 mar 17:24
Eta:
Jasne
I tym sposobem dobiliśmy do
p123 postów niczym
f123
27 mar 17:25
ZKS:
Zdanie 1 pamiętam, bo z
Godzio je rozwiązywałem kiedyś, chyba.
Też się człowiek męczył.
27 mar 17:25
Saizou :
@
Eta no nie do końca tak było
27 mar 17:27
salamandra: | | 2 | |
No to mamy |
| *3 z tego co Saizou wyliczył tak czy nie? |
| | tg60 | |
27 mar 17:42
Saizou :
| 2 | |
| • tg 20 • tg 40 • tg 80 = |
| √3 | |
| 2√3 | |
| • tg 20 • tg 40 • tg 80 = |
| 3 | |
| 2 | |
| •√3 • tg 20 • tg 40 • tg 80 = |
| 3 | |
i teraz tg60=
√3
27 mar 17:44
salamandra: Nie, dobra, kompletnie nic nie rozumiem, mamy wyjściowo
tg20*tg*40*tg80=tg60
Z tego się zgodzę że = 2, ale dlaczego Saizou od pierwszej linijki zapisał
tg20*tg40*tg80*
tg60
27 mar 17:45
salamandra: sory, pisałem zanim napisałeś Saizou, dzięki
27 mar 17:46
f123: Dzieki za dzisiaj panie i panowie, widzimy sie jutro po południu
27 mar 17:50
salamandra: trzymaj się!
27 mar 17:52
ZKS:
salamandra idą kolejne zdania?
27 mar 18:01
salamandra: tak, zabrałem się za jakieś z gwiazdką z planimetrii, wstawiłem na forum, bo chyba dzisiaj się
nie nadaję do zadań z gwiazdką
27 mar 18:03