Rachunek różniczkowy Blue: zad.1 Udowodnij, że liczba a jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy jest wspólnym miejscem zerowym tego wielomianu i jego pochodnej. zad.2 Wykaż, że nie istnieje granica

	|x+4|
lim
	x2−16

x−>−4 http://i62.tinypic.com/keu1sg.jpg

	−2		1
zad.3 Wykaż, że funkcja f(x) =		x3 +		x2−3x jest malejąca w R.
	3		2

zad.4 Wykaż, że

	x3−8
lim		=12
	x−2

x−>2 http://i61.tinypic.com/2eg8ri9.jpg Czy zadanie 2,3, 4 jest zrobione dobrze? I jak zrobić to 1 zadanko?

Gray: Ad. 2. |x+4|=x+4 ?

Gray: Ad. 4. OK

Kacper: Kiedyś słowo "wykaż" odnosiło się ściśle do definicji. Dzisiaj widzę, że wykaż, uzasadnij, udowodnij robią się synonimami

Eve: 3. ok

Kacper: Zadanie 1 niezbyt na maturę się nadaje. Należy pokazać dwie implikacje: (→) Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu, to jest wspólnym miejscem zerowym tego wielomianu i jego pochodnej. (←) Jeśli liczba a jest wspólnym miejscem zerowym tego wielomianu i jego pochodnej, to jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu.

Kacper: Jak nie dasz rady, to zrobię

Blue: Gray no właśnie nie wiem, czy mogę to tak skrócić, bo w tym przypadku i tak będzie 0 w wartości bezwzględnej... Czy tak można? Kacper, lepiej Ty zrób, nie mam pojęcia, jak to udowodnić

Gray: Najpierw granice jednostronne, potem skracanie.

Gray: Jeżeli x→−4⁺ to |x+4|=x+4; jeżeli x→−4⁻ to |x+4|= −x−4.

Eve: a ja na 1 mam pomysł taki ⇒W(x)=(x−a)^w*Q(x) W'(x)=w(x−a)^w−1*Q(x)+(x−a)^w*Q'(x)=(x−a)^w[(w(x−a)⁻¹*Q(x)+Q'(x)] tzn, że a jest pierwiastkiem wielkrotnym pochodnej

Blue:

	−(x+4)		−1		1
lim		= lim		=
	(x−4)(x+4)		x−4		8

x−>−4⁻

	x+4		1		−1
lim		= lim		=
	(x+4)(x−4)		x−4		8

x−>−4⁺ Tak

Gray: Nie. Po pierwsze w(x−a)⁻¹Q(x) nie musi być wielomianem. Po drugie: takie twierdzenie nie jest prawdziwe.

Eve: faktycznie, i chyba w ogóle źle zrozumiałam treść, sorki

52: Post 13:34 Też bym tak zrobił

Gray: Ad. a) Liczba a jest zerem k−krotnym (k≥2) wielomiany f jeżeli f(x)=(x−a)^kg(x), gdzie g−wielomian, g(k)≠0. To jest definicja (jak rozumiem). Implikacja "⇒" jest prosta. Trzeba pokazać, że dla f(x)=(x−a)^kg(x) mamy: f'(a)=0. Implikacja w drugą stronę: tw. Bezout.

Kacper: niech k∊N₊ Def. Liczba a jest k−krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), jeśli wielomian ten jest podzielny przez wielomian (x−a)^k, a nie jest podzielny przez wielomian (x−a)^k+1. (→) Skoro a jest k−krotnym (k>2) pierwiastkiem wielomianu, to nasz wielomian jest postaci: W(x)=(x−a)^k*Q(x), Q(a)≠0 Liczymy pochodną W'(x)=k*(x−a)^k−1*Q(x)+(x−a)^k*Q'(x) Liczymy wartość wielomianu i jego pochodnej dla argumentu a. W(a)=0 − miejsce zerowe W'(a)=0 − miejsce zerowe c.n.w (←) Mamy wielomian W(x). Jego miejscem zerowym jest liczba a. Zatem wielomian W(x) jest postaci W(x)=(x−a)*G(x). Stąd W'(x)=P(x)+(x−a)*G'(x). Skoro W'(a)=0, to P(a)=0, zatem wielomian W(x)=(x−a)²*H(x), czyli a jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu W(x). c.n.w Trochę mi się nie podoba składnia, ale myślę, że może być

Kacper: edit. tam może być k≥2

Gray: "Stąd W'(x)=P(x)+(x−a)*G'(x)." → Stąd W'(x)=G(x)+(x−a)G'(x) i dalej zamiast P ma być G

Kacper: i jeszcze literówki zamiast P(x) ma być G(x). Przydałaby się możliwość edycji.

Gray: No i co beczysz? Brawo za ładne rozwiązanie...

Blue: 52 mówisz o moim poście

Blue: Kacper, jeśli takie zadanie by dali na maturze, to chyba nikt by go nie rozwiązał xD

daras: można by spróbować w tym roku

Blue:

	1		1
Ktoś mi powie w końcu, czy te granice to		i −
	8		8

Gray: Dobrze.

Blue: Dziękuję !