Funkcja kwadratowa Szkolniak: Ile istnieje równań postaci x²−px−q=0, których współczynniki p,q∊N i pierwiastki dodatnie są mniejsze od 10? Pytanie − czy mogę stworzyć sobie układ współrzędnych POQ, nałożyć odpowiednie warunki (na końcu wyciągnąć część wspólną) i potem odczytać z wykresu ile takich równań byłbym w stanie ułożyć? Bo wypisałem te warunki, ale nie wiem czy o to w tym chodzi − proszę o rady, nie całe zadanie

a7: https://matematykaszkolna.pl/forum/329850.html

Szkolniak: Dzięki a7

Mila: Spróbuj tak ustalić, na osiach : p,q w(10)>0⇔100−10p−q>0 Masz odpowiedź do zadania ( 441) Ja wypisałam 3 przypadki (1,2,9 ) i obliczyłam sumę 9 wyrazów ciągu. Wykres pomaga.

Szkolniak: Właśnie próbowałem wypisać wszystkie warunki, ale nawet jeśli bym to odpowiednio zrobił to i tak chyba nie jestem w stanie policzyć tego ''na goło'', jeśli jest ich aż 441 Swoją drogą wyszedł mi warunek q<0 co jest sprzeczne z tym, że q∊N − więc ciekawy jestem czy da radę to jakoś w ten sposób zrobić

Mila: p ,q∊N₊ Δ>0 dla każdego p,q x₁*x₂=−q<0 z tego wynika, że zawsze jeden pierwiastek jest dodatni. np. x₂>0 Wartość trójmianu musi być dodatnia dla x=10 bo wtedy x₂<10 stąd warunek: 100−10p−q>0⇔q<100−10p ( wszystko poniżej tej prostej) teraz narysuj układ wsp.POQ i prostą q=100−p, patrz na p=1 i zanotuj liczbę rozwiązań dalej sam. ( 2 lub linijki mają być )

Szkolniak: O to mi właśnie chodziło, dziękuje Mam jeszcze pytanie odnośnie warunku związanego z iloczynem: Mamy w poleceniu, że pierwiastki dodatnie, zatem x₁x₂>0 ⇔ −q>0 ⇔ q<0 .. dlaczego nie możemy z tego tutaj skorzystać?

Mila: q>0 z założenia, zatem x₁*x₂ =−q ma wartość ujemną i tylko jeden pierwiastek może być dodatni, chodzi o jeden dodatni pierwiastek w każdym z ustalonych równań.

Mila: Zrobione?

Szkolniak: Zrobione Mam jeszcze 'drugi wariant' tego zadania, mógłbym się poradzić?

Mila: Tam miała być prosta q=100−10p, zauważyłeś? Tak, pisz II wariant.

Szkolniak: A nie zauważyłem, ale rozpatrzyłem ten warunek w zeszycie i z zeszytu przepisałem i wyszło dobrze ''Ile istnieje równań postaci x²−px−q=0, których współczynniki p,q∊N i dodatnie pierwiastki są mniejsze od danej liczby r∊N?" Co w tym przypadku gdy dana liczba nie jest sprecyzowana?

Mila: Zaczynasz tak samo: x₁*x₂=−q<0 r²−pr−q>0 q<r²−pr dla p=1 liczba rozwiązań.....? dla p=r−1 liczba rozwiązań=r−1 S_r−1=....

Szkolniak: Nie do końca rozumiem.. 1) Czy mogę w jakikolwiek sposób narysować prostą q=r²−pr? 2) Czy dla p=1 liczba rozwiązań będzie równa 1?

Mila: Raczej nie, ale zastosuj analogię, jak ustaliłeś liczbę rozwiązań ( działanie arytmetyczne) dla p=1. Jeśli będą kłopoty , to wrócę do poprzedniego zadania. Myśl.

Mila: Dla p=1 liczba rozwiązań zależna od r

Szkolniak: Dla sprostowania − czyli dla p=1 liczba rozwiązań nie jest równa 1? Bo nie wiem czy się tym kierować teraz

Szkolniak: Nie było pytania − myślę dalej

Mila: Analizuj poprzednie rozwiązanie, dasz radę

Szkolniak: Liczba rozwiązań dla p=1: r²−r−1?

Mila: Bingo

Szkolniak: Czyli dla każdego p=k, gdzie k∊{1,2,3,...,r−1} liczba rozwiązań będzie równa r²−kr−1?

Mila: Tak, interesuje Cię dla p=1 masz : p₁=r²−r−1 p=r−1 : p_r−1=r−1

	r2−r−1+r−1
Sr−1=		*(r−1)
	2

Szkolniak:

	r2
Zatem istnieje: (r−1)(		−1) postaci takich równań?
	2

Mila: Tak To było trudne zadanie. Przydałoby się założenie dla r?

Szkolniak: Gdyby nie poprzedni przykład to raczej bardzo ciężko byłoby mi wpadać na te wszystkie rzeczy.. Bo trochę czarna magia skąd to się brało Ale trzeba ćwiczyć r∊{2,3,4,...}?

Mila: Dlatego ważne jest rozwiązywanie zadań z uwzględnieniem zasady stopniowania trudności.

Szkolniak: W mojej książce to zadanie jest właśnie oznaczone dwoma gwiazdkami − czyli 'bardzo trudne' Ale bywało różnie w tej książce z tak oznakowanymi zadaniami − niektórym bym nie dał tyle

Mila: Jeśli masz trudne zadanie, to czasem sam możesz ułożyć zadanie podobne, ale nieco łatwiejsze, ( konkretne dane, itp) rozwiązać i szukać analogii.

Szkolniak: Pewnie, ale też moim zdaniem lepiej sobie nie ułatwiać i szukać analogii na literkach, ćwiczyć Chociaż czy to zadanie mogłoby się pojawić na maturze? Jak myślisz?

Mila: Myślę, że żadne z tych dwóch zadań nie pojawi się na maturze. To dobre dla ćwiczenia umysłu, sprawdzenie rozumowania.

Szkolniak: W domu i na spokojnie a jaka satysfakcja jak się je zrobi Wracając do zastrzeżenia co do 'r' − poprawne?

Mila: Właśnie− satysfakcja Myślę , że założenie dobre.

Szkolniak: Super dzięki piękne za pomoc i wyjaśnienie zadania