stereometria salamandra: Punkty A=(1,−2), D=(−2,2) są kolejnymi wierzchołkami trapezu ABCD . Prosta x+2y−7=0 jest osią symetrii tego trapezu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trapezu, a następnie oblicz objętośc bryły otrzymanej w wyniku obrotu trapezu wokół krótszej podstawy. A=(1,−2) D=(−2,2) x+2y−7=0

	1		7
y=−		x+
	2		2

Moje rozumowanie jest takie: Podstawa na której leży założmy punkt D, prosta ta, jest prostopadła do osi symetrii, więc jej a=2 Na tej prostej leży punkt D, czyli y=ax+b 2=−2*2+b b=6 y=2x−6 punkt przecięcia się prostych wyznaczy środek podstawy. punkt C leży na tej prostej i jest jednakowo odległy od tego środka co punkt D. itd?

wredulus_pospolitus: Dokładnie

salamandra: No to nie wyszło mi z tego

salamandra:

	−1		7
2x−6=		+
	2		2

	19
x=
	5

	19		38		30		8
y=2*		−6=		−		=
	5		5		5		5

	19		8
S(		,		)
	5		5

	13√5
DS=
	5

CS=DS

	1		7
C(x,−		x+		)
	2		2

	7
x=−		lub x=9
	5

Wybacz jak jakieś błędy są w zapisie, pisze z telefonu

wredulus_pospolitus: y = 2x +6 <−−− ta prosta przechodzi przez punkt D (patrz mój rysunek)

wredulus_pospolitus: wyliczyłeś b = + 6 i do wzoru y = 2x + b podstawiłeś −6 i tak powstało y = 2x − 6

wredulus_pospolitus: Nauczka na przyszłość −−− wyliczyłeś prostą ... podstaw współrzędne punktu/−ów i sprawdź czy się zgadza

salamandra: Niech będzie, że to przez godzinę...

wredulus_pospolitus: A nie przez te pół litra vódki obalone pół godziny temu No dobra ... niech Ci będzie, ze to przez godzinę

salamandra: Wtedy na pewno nie byłoby takiego błędu (sprawdzone) Dokończę rankiem, dzięki za potwierdzenie rozumowania

wredulus_pospolitus: i szczerze mówiąc to nie wiem co Ty podstawiłeś w pierwszej linijce rozwiązania o 02:08 czyżbyś tam o 'x' nie zapomniał przypadkiem

salamandra: Zapomniałem, zapomniałem, mówiłem ze z telefonu pisze

wredulus_pospolitus: No i punkt C NA PEWNO nie ma takich współrzędnych (chodzi o drugą współrzędną) −−− nie tą prostą wziąłeś. Pamiętaj: Piłeś? Nie rób zadań z matematyki

salamandra: Tak, racja, za dużo chciałem w myśli zrobić zamiast sobie rozpisać i byłem przekonany, że to ta prosta „moja”, a nie oś symetrii , dzięki raz jeszcze

salamandra: Czy odległość środków podstaw wyznaczy mi promień bryły powstałej w wyniku obrotu wokół krótszej podstawy?

salamandra: te współrzędne mi wyszły poprawnie S=(−1,4) S'=(3,2)

Bleee: Tak... Odległość pomiędzy środkami jest równa promieniowi bryły powstałej z obrotu tego trapezu wokół podstawy (czy 5o krótszej, czy to dłuższej)

salamandra: takie coś powstanie? nie umiem sobie tego wyobrazić

wredulus_pospolitus: tak ... powstanie walec o wysokości |AB| z wyciętymi dwoma stożkami (na podstawach) o łącznych wysokościach |AB| − |CD|

wredulus_pospolitus:

salamandra: Ostro, czyli zeby policzyć objętość tego to liczę V_walca, i odejmuję objętości tych dwóch stożków?

wredulus_pospolitus: Tak i dodatkowo zauważ, że: V_walca = πr²*H = π(h_trapezu)² * |AB|

	1
Vstożka 1 + Vstożka 2 =		(πr2*H1 + πr2*H2) =
	3

= π(h_trapezu)² * ( H₁ + H₂ ) = π(h_trapezu)² * ( |AB| − |CD| )

salamandra:

	1
wysokość stożka (jednego) to będzie		*(AB−CD)?
	2

salamandra: wyszło dzieki

wredulus_pospolitus: Tak ... tutaj trapez jest równoramienny więc taka będzie wysokość każdego ze stożków ... ale gdyby to nie był równoramienny ... to po prostu w ten sposób (co napisałem) nie trzeba wyznaczać wysokości każdego z tych stożków (pamiętasz poprzednie zadania gdzie Ci to pokazywałem).

salamandra: Nie, nie kojarzę, abym miał zadanie z obrotem trapezu, może nie mi tłumaczyłeś?

wredulus_pospolitus: To nie był obrót trapezu ... ale chodzi o policzenie objętości dwóch stożków o jednakowym promieniu podstawy: https://matematykaszkolna.pl/forum/398074.html

salamandra: Tamto było łatwiejsze nie potrafię nigdy zapamiętać żeby użyć przyrównania pól, tak jak zrobiles to w tamtym, dlatego te moje „długie” rozwiązania maja miejsce

wredulus_pospolitus: Chodzi oto, że i w tym zadaniu można było skorzystać z liczenia objętości obu stożków jednocześnie biorąc sumę ich wysokości (tak jak to było w tamtym zadaniu). Tutaj szczęśliwie trapez był równoramienny więc wysokości ładnie się podzieliły, ale gdyby było tak jak w tamtym zadaniu to znowu byś siedział i niepotrzebnie tracił parę minut na obliczenie wysokości każdego z nich.

salamandra:

	1
Czyli mając taką klepsydrę (dwa stożki) to ich objętość to		*πr2*AC i nie muszę
	3

rozpatrywać dwóch oddzielnie?

wredulus_pospolitus: Dokładnie

salamandra: to bajeczka

wredulus_pospolitus: I tu także

wredulus_pospolitus: A W tym zadaniu de facto miałeś to co napisałem o 14:55 (tylko te dwa stożki w zadaniu się nie stykają)

salamandra: A co właśnie jeśli by nie był trapez równoramienny?

salamandra: zresztą to że jest oś symetrii od razu sugeruje, że jest równoramienny, racja?

wredulus_pospolitus: nie sugeruje tylko o tym przesądza