stereometria salamandra: W trójkącie ABC, AC=7, BC=8, zaś ∡ABC=60. Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta ABC wokół prostej zawierającej bok AC. Chcę tylko wiedzieć czy promień będzie tam gdzie narysowałem, bo zawsze mam problem z wyobrażeniem sobie gdzie powstaje ten okrąg?

Mila: Tak. Odbicie symetryczne punktu B względem prostej AC, otrzymasz B' BB'⊥AC

wredulus_pospolitus: tak ... r = h_trójkąta H_bryły = |AC|

Mila: Jakoś salamandra ostatnio mało pracuje?

salamandra: Dużo kombinatoryki ostatnio, nie robiłem nic poza tym, żeby w miarę się na tym skupić i to ogarnąć, teraz dwa tygodnie będę powtarzał co się da

Mila: To dobrze, myślałam, że balowałeś

salamandra: Nie wiem czy dobrze tutaj kombinuję,

	1
|AC|2=64+100−160*		(tw cosinusów)
	2

|AC|²=84 |AC|=2√21 Z tw. sinusów:

2√21		8
	=
1   2		sinα

2√21*sinα=4

	4		4√21		2√21
sinα=		=		=
	2√21		42		21

10		2√21
	=
sinβ		1   2

5=sinβ*2√21

	5√21
sinβ=
	42

r		10
	=
sinα		sin90

r
	=10
2√21   21

	2√21		20√21
r=10*		=
	21		21

z Tw. Pitagorasa:

	20√21
(		)2+z2=100
	21

	10√357
z=
	21

	4√1239
t=
	21

I teraz objętości dwóch stożków i dodać?

salamandra: Nieważne, widzę błąd.

	10		2√21
w		=
	sinβ		1     2

wredulus_pospolitus: Chwila chwila ... Czemu treść zadania (podane AC i nie pasujące BC) nie zgadza się z rysunkiem

salamandra: podane AB, sory, zadanie poniżej ma identyczną treść, tylko podane jest AC i źle przepisałem, dane tak jak na rysunku, już piszę swoje rozwiązanie po korekcie błędu

wredulus_pospolitus: i po kiego grzyba Ci sinα i sinβ z i t NIE SĄ CI POTRZEBNE zauważ, że masz do obliczenia

	1		1		1		1
V = V1 + V2 =		πr2*z +		πr2*t =		πr2*(z+t) =		πr2*|AC|
	3		3		3		3

wredulus_pospolitus: krok 1: wyznaczasz |AC|

	a*b*sin60o
krok 2: wyznaczasz pole trójkąta ze wzoru: PΔ =
	2

	|AC|*h
krok 3: wyznaczasz h = r ze wzoru na pole PΔ =
	2

podstawiasz 'r' do wzoru na objętość bryły

salamandra: korekta od tw. sinusów

2√21		8
	=
√3   2		sinα

2√21*sinα=4√3

	4√3		4√63		2√63		6√7		2√7
sinα=		=		=		=		=
	2√21		42		21		21		7

10		2√21
	=
sinβ		√3   2

5√3=sinβ*2√21

	5√3
sinβ=
	2√21

	5√7
sinβ=
	14

r		10
	=
sinα		sin90

r
	=10
2√7   7

	20√7
r=
	7

	20√7
(		)2+z2=100
	7

	10√21
z=
	7

	20√7
(		)2+t2=64
	7

	4√21
t=
	7

	2800
r2=
	49

	1		2800		10√21		1		400		4000√21
V1=		π*		*		=		π*		*10√21=		π
	3		49		7		3		49		147

	1		2800		4√21		1		400		1600√21
V2=		π*		*				π*		*4√21=		π
	3		49		7		3		49		147

	4000√21		1600√21		5600√21		800√21
Vc=		π+		π=		π=		π
	147		147		147		21

wredulus_pospolitus: A teraz spójrz na mój komentarz i zobacz o ile szybciej będzie, jak policzysz tak jak proponuję.

salamandra: No widzisz, znów Ty się nie narobiłeś, a ja tak przyznam po prostu, że jak zobaczyłem, że te dwa stożki będą miały inną wysokość, to myślałem, że muszę właśnie je oddzielnie rozpatrzeć, ale wyszło

salamandra: |AC|=2√21

	√3   8*10*   2
PΔ=		=20√3
	2

	1
PΔ=AC*h*
	2

	1
20√3=2√21*h*
	2

20√3=√21*h

20√63
	=h
21

60√7
	=h
21

20√7
	=h
7

h=r

	1		20√7		1		2800		800√21
V=		*π*(		)2*2√21 =		π*		*2√21=
	3		7		3		49		21

no "trochę" szybciej, dzięki

wredulus_pospolitus: Warto zapamiętać tego typu zadanie −−− bo jak widzisz po egzaminach, co jakiś czas się takie zadanie trafi i przeważnie właśnie masz do obliczenia V dwóch stożków o jednakowym promieniu (ewentualnie w formie klepsydry)

an: z treści i rysunku to dwa zadania

salamandra: Już mówiłem, że w treści się pomyliłem, powinno być AB=8 i BC=10 No szczerze mówiąc przeglądając matury nie widziałem takiego zadania, ale może dlatego ze ostatnio jak je przeglądałem to nie miałem jeszcze opanowanej stereometrii wiec je opuszczałem