Rozwiąż równanie różniczkowe michuMP: Rozwiąż równanie różniczkowe: y"=e^2y Proszę o pomoc!

michuMP: Do tego momentu doszedłem: Podstawienie: y'=u y"=u'*u ∫u*du=∫e^2y*dy u²=e{2y}+C₁ więc y'=(+/−) √e^2y+C₁ dy/dx=(+/−) √e^2y+C₁ ∫dy/√e^2y+C₁=(+/−) ∫dx

jc: (y')² = C + e^2y w=e^y y' = w'/w (w')² = w²(C+w²) Dalej różnie, w zależności od tego, czy C>0, C=0, C<0.

Mariusz: Jeśli chodzi o całkę to próbowałeś podstawienia za cały pierwiastek ?

	dy
∫
	√e2y+C1

t=√e^2y+C₁ t²=e^2y+C₁ 2tdt=2e^2ydy tdt=e^2ydy tdt=(t²−C₁)dy

	t
dy=		dt
	t2−C1

Otrzymujesz całkę

	1		t
∫		*		dt
	t		t2−C1

	1
∫		dt
	t2−C1

i teraz w zależności od znaku stałej albo rozkładasz funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych i dostajesz logarytm albo całkujesz i dostajesz arcus tangens

michuMP: Dobra to poproszę jeszcze o sprawdzenie

	dt		A		B
∫		=		+
	t2−C22		t−C2		t+C2

1=t(A+B)+C₂(A−B) A+B=0 A−B=1 (to nie jestem pewny) A i B = 1/2 co daje.... 1/2 ln(t+C₂)+ 1/2 ln(t−C₂) + C₃

michuMP: ∫dy/√e^2y+C1=(+/−) ∫dx C₁ na razie wyrzucamy z pierwiastka, więc

	dy
∫		=∫(+/−) √e2y
	dx

	dy
∫		=∫(+/−) ey
	dx

	dy
∫		=(+/−) ∫dx
	ey

	dy
∫		=−e−y
	ey

−e^−y=(+/−) x+C₂ tu wraca stała i podnosimy wszystko do kwadratu żeby pozbyć się +/−. */()² e^−2y=(x+C₂)² −2y=ln[(x+C₂)²] −2y=2ln(x+C₂) y=−ln(x+C₂) Co powicie na takie rozwiązanie?

jc: Mariusz Żadnych przypadków.

Mariusz: Jeżeli chodzi o stałą to masz trzy przypadki C₁ > 0 C₁ = 0 C₁ < 0 tak jak jc napisał

1		A		B
	=		+
t2−C2		t−C		t+C

A(t+C)+B(t−C)=1 (A+B)t+C(A−B)=1 A+B=0

	1
A−B=
	C

B=−A

	1
2A=
	C

B=−A

	1
A=
	2C

	1
A=
	2C

	1
B=−
	2C

jc: A jednak przypadki

Mariusz: jc nie twierdzę że twoje rozwiązanie jest złe , ja tylko chciałem kontynuować pomysł użytkownika michuMP

jc: Mariusz, po prostu, jak przeczytałem Twoją wskazówkę, pomyślałem, że nie będzie trzeba rozważać przypadków. Czy mógłbyś spojrzeć na zadanie https://matematykaszkolna.pl/forum/398194.html ?

Mariusz: No ja z równania różniczkowego dostałem logarytmy