suma szeregu lola456: Cześć, mam do policzenia sumę szeregu:

	2n + 1 * xn
Σ∞
	2n + 1

Próbowałam to scałkować ale nie za wiele mi to dało, nie mam pojęcia jak pozbyć się wyrażenia "2n + 1" z mianownika, może ktoś ma jakiś pmysł?

Leszek: Przede wszystkim zbadaj dla jakich x szereg jest zbiezny !

lola456:

	1		1
szereg jest zbieżny dla x z przedziału [−		,		]
	2		2

lola456:

1
	otwarta *
2

jc: ln(1−x) = − (x + x²/2 + x³/3 + x⁴/4 + ...) ln(1+x)= (x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4+...) ln(1+x) − ln(1−x) = 2x + 2x³/3 + 2x⁵/5+...

ln(1+√2x) − ln(1−√2x)
	=2(1 + 2x/3 + 4x2/5+..) = Twój szereg.
√2x

jc: Tak jest dla dodatnich x, a jak jest dla ujemnych? Może po prostu arctg √2x ?

jc:

	arctg √2x
... lub raczej 2
	√2x

lola456: A skąd wpaść na pomysł, że to wyrażenie to będzie ln? Niestety nie widzę tego tak od razu...

jc: Widziałeś rozwinięcie ln(1+x)=x−x²/2+x³/3−x⁴/4+ ? Pochodne obu stron są równe, dla x=0 po obu stronach mamy zero.

lola456: Rozumiem... Dziękuję bardzo za pomoc

jc: Nie wiem, czy gdzieś się nie pomyliłem. Dziwny ten wynik − inna funkcja dla dodatnich x, inna dla ujemnych. Wklepałbym do komputera początek szeregu i porównał wykresy.

Mariusz:

	2n+1xn		(2x)n
∑n=0∞		=2(∑n=0∞		)
	2n+1		2n+1

	(2x)n
2(∑n=0∞		)
	2n+1

d		(2x)n		2n(2x)n−1
	((∑n=0∞2		))=(∑n=0∞2		)
dx		2n+1		2n+1

	d		(2x)n		2n(2x)n
x		((∑n=0∞2		))=(∑n=0∞2		)
	dx		2n+1		2n+1

	d		(2x)n
x		((∑n=0∞2		))=
	dx		2n+1

	((2n+1)−1)(2x)n
(∑n=0∞2		))
	2n+1

	d		(2x)n		(2x)n
x		((∑n=0∞2		))=2(∑n=0∞(2x)n)−∑n=0∞2
	dx		2n+1		2n+1

Mamy zatem równanie różniczkowe

	2
xF'(x)=		−F(x)
	1−2x

	2
xF'(x)+F(x)=
	1−2x

To jest równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu ale lewą stronę można łatwo zwinąć do pochodnej iloczynu

d		2
	(xF(x))=
dx		1−2x

Przydałby się też jakiś warunek początkowy

Mariusz: Zdaje się że jest gdzieś błąd w obliczeniach ale i tak po skorzystaniu z tego pomysłu powinniśmy dostać niejednorodne równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Mariusz: Równanie różniczkowe powinno jednak wyglądać tak

	2
2xF' + F=
	1−2x

F(0) = 0

jc: F(0)=2

jc: Dla ujemnych x powinno być

	arctg √−2x
− 2
	√−2x

Mariusz: We wpisie z 16 mar 2020 21:15 lola456 ma trochę racji że nie wiadomo skąd się wziął ten logarytm Pomysł z równaniem różniczkowym wydaje się być dobrym ale jeśli nie miał(a) tych równań różniczkowych wprowadzonych mogą jej (mu) nie zaakceptować tego rozwiązania Jeżeli nie bawimy się zespolonymi to do pierwiastka musisz założyć że x ≥ 0 i jeśli chcesz aby rozwiązanie obejmowało także iksy ujemne to to w przypadku gdy x < 0 trzeba n. wyraz szeregu pomnożyć przez (−1)ⁿ i rzeczywiście wyjdzie nam arcus tangens

jc: Mariusz, rozwiązanie równania różniczkowego też powinno być dziwne.

Mariusz: Może miałbym jeszcze jeden pomysł tym razem bez równania różniczkowego ale wymagałby on przestawiania wyrazów a z tym trzeba ostrożnie podczas sumowania szeregów bo może to prowadzić do błędów Pomyślałem sobie aby zadany szereg przedstawić w postaci sumy dwóch szeregów (jednego z wyrazami tylko przy parzystych potęgach i drugiego z wyrazami tylko przy nieparzystych potęgach) ale to może się nie udać bo podczas sumowania szeregów dodawanie nie zawsze jest przemienne