Dowód, że ciąg nie jest arytmetyczny
Kamil: Wykaż, że jeżeli suma n początkowych wyrazów ciągu dla każdego N ∊ N
+ określona jest wzorem
S
n = 2n
2 − 14n + 1, to ciąg ten nie jest arytmetyczny.
Rozwiązałem to w ten sposób:
1. Wyznaczenie wzoru na a
n−ty wyraz
S
n = S
n−1 + a
n
a
n = S
n − S
n−1
S
n−1 = 2(n−1)
2 − 14(n−1) + 1 = 2(n
2 − 2n + 1) − 14n + 15 = 2n
2 − 4n + 2 − 14n + 15 =
2n
2 − 18n + 17
a
n = 2n
2 − 14n + 1 − (2n
2 − 18n + 17) = 2n
2 − 14n + 1 − 2n
2 + 18n − 17 = 4n − 16
2. Wyznaczenie różnicy r
r = a
n+1 − a
n
r = 4(n + 1) − 16 − (4n − 16) = 4n + 4 − 16 − 4n +16 = 4
Wyszło mi, że różnica między dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami ciągu jest stała. No więc
udowodniłem, że ciąg jest arytmetyczny, a miałem udowodnić coś przeciwnego.
Patrzyłem na rozwiązania tego zadania i wygląda na to, że należy obliczyć jeszcze a
1 i a
2.
Potem sprawdzić czy a
2 − a
1 = 4. Jeśli nie to nie jest to ciąg arytmetyczny.
Właśnie tego nie rozumiem. Skoro wykazałem, że po wzięciu dwóch dowolnych kolejnych wyrazów
ciągu r = 4 to dlaczego nagle różnica między wyrazem a
2 i a
1 jest inna
Jak to działa?
Będę wdzięczny za wytłumaczenie mi tego dziwnego dla mnie zjawiska.
