Twierdzenie odwrotne AHQ: Dany jest trójkąt ABC oraz dowolny punkt P w jego wnętrzu. Oznaczmy przez D, E, i F rzuty P na boki BC, CA i AB trójkąta ABC. Wykaz, ze: BD² + CE² + AF² = DC² + EA² + FB² Czy twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe? Tzn. czy jeżeli punkty D, E, F leżące na bokach BC, CA, AB spełniają te równość, to czy musi istnieć punkt P, dla którego są one rzutami na te boki? Zapisałem tw. Pitagorasa dla małych Δ prostokątnych i wyznaczyłem odcinki potrzebne do tezy − wszystko ładnie się skróciło. Jak pokazać (lub obalić) twierdzenie w przeciwną stronę ?

a7: https://matematykaszkolna.pl/forum/397811.html

AHQ: Chodzi o to, że przy takich oznaczeniach punkt P znajduje się w wierzchołku C, czyli nie w jego wnętrzu ?

wredulus_pospolitus: Tak ... twierdzenie w drugą stronę nie jest prawdziwe, bo można dobrać tak punkt P, aby spełniał tą nierówność a nie był we wnętrzu trójkąta.

AHQ: A gdyby punkt P nie musiał leżeć wewnątrz trójkąta, tylko w dowolnym punkcie na płaszczyźnie, to tw. odwrotne byłoby prawdziwe nie ? Jak wtedy należałoby to pokazać ?

AHQ: .

wredulus_pospolitus: jeżeli rzuty na boki uznamy jako rzuty na przedłużenia boków to mamy powyższą sytuację |AF|² = |BF|² |BD|² = |AE|² |CE|² = |CD|² dodajemy ... mamy równość daną w twierdzeniu. Jeżeli natomiast nie będziemy tak rozpatrywać w taki sposób rzutów na boki, to dla P poza trójkątem nie ma czegoś takiego jak rzut punktu na bok (nie na każdy bok) tegoż trójkąta. Przykład zaprezentowany na trójkącie równobocznym, ale także i dla równoramiennego będziesz miał powyższe równości. Czy ta (ogólna) równość będzie działać dla dowolnego trójkąta i dowolnego umiejscowienia punktu P ... nie wiem ... i nawet nie mam zamiaru tego sprawdzać.