Dowód - geomteria Witcher77: Dany jest trójkąt ABC oraz dowolny punkt P w jego wnętrzu. Oznaczmy przez D, E, i F rzuty P na boki BC, CA i AB trójkąta ABC. Wykaz, ze: BD² + CE² + AF² = DC² + EA² + FB² Czy twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe? Tzn. czy jeżeli punkty D, E, F leżące na bokach BC, CA, AB spełniają te równość, to czy musi istnieć punkt P, dla którego są one rzutami na te boki?

ite: Skorzystaj z tw.Pitagorasa dla ΔAFP, ΔFBP, ΔBPD i pozostałych o w ierzchołku P. Wylicz z niego najpierw kwadraty długości zielonych odcinków, potem fioletowych. Porównaj je.

Witcher77: Super udało się A czy teza działa w drugą stronę ?

wredulus_pospolitus: |CD| = 0 |CE| = 0 |BD|² + |CE|² + |AF|² = |DC|² + |EA|² + |FB|² 4 + 0 + 1 = 0 + 4 + 1 <−−− spełniony warunek, natomiast nie istnieje taki punkt P WEWNĄTRZ tego trójkąta, aby E był jego rzutem na bok AC (analogicznie z punktem D)

wredulus_pospolitus: wniosek