nierownosci abc: liczby dodatnie spełniaja warunek: x₁ + x₂ + x₃ + x₄+...+x_n=1

	1		1		1		1
wykaż, że: (1+		)+(1+		)+(1+		)+....+(1+		)>=(n+1)2
	x1		x2		x3		xn

a7: dla 1/2+1/3+1/6=1 L=1+2+1+3+1+6=14 P=(3+1)²=16 L<P

abc: Boże tam jest mnożenie Prosze wybaczyć mój błąd powinno być:

	1		1		1		1
(1+		)(1+		)(1+		)...(1+		)>=(n+1)2
	x1		x2		x3		xn

a7: dla n=1 x₁=1 L=2 P=(1+1)²=4 L<P ?

jc: funkcja f(x)=ln(1+1/x), x>0, jest funkcją wypukłą:

f(x)+f(y)		x+y
	≥ f(		)
2		2

lub ogólniej

f(x1+f(x2)+...+f(xn)		x1+x2+..+xn
	≥ f(		)=f(1/n)
n		n

1
	[ln(1+1/x1)+ln(1+1/x2)+..+ln(1+1/xn)] ≥ ln(1+n)
n

(1+1/x₁)(1+1/x₂)...(1+1/x_n)≥(1+n)ⁿ

a7: ja dalej nie rozumiem dla n=2 x₁=3/4 x₂= 1/4 L=35/16 P=9 L<P

a7: ok już widzę swój bląd

abc: Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć co sie tutaj stało, szczególnie w pierwszym kroku? Z góry dzięki za pomoc

jc: https://matematykaszkolna.pl/forum/372019.html x₁+x₂+...+x_n=1 Nierówność pomiędzy średnimi daje nam:

x1 + 1		2x1 + x2 + ... + xn
	=		≥ [x12 x2 ... xn]1/(n+1)
n+1		n+1

Mnożysz tego rodzaju czynniki i uzyskujesz:

x1+1		x2+1		xn+1
	*		* ... *		≥ x1x2...xn
n+1		n+1		n+1

A po odpowiednim podzieleniu (1+1/x₁)(1+1/x₂)...(1+1/x_n) ≥ (n+1)ⁿ

Mila: Pięknie jc

jc: MIla, to nie ja wymyśliłem. To Jolka (link powyżej).