Ciąg geometryczny i równanie kwadratowe FUITP: Liczby x₁ i x₂ są pierwiastkami równania x²−3x+A=0, a liczby x₃ i x₄ pierwiastkami równania x²−12x+B=0. Wiadomo, że liczby x₁, x₂, x₃, x₄ tworzą ciąg geometryczny. Znajdź A i B. Rozwiązałem to zadanie i wyszło mi A = 2, B = 32, jednak w odpowiedziach oprócz tego jest jeszcze A = −18, B = −972. Może mi ktoś pokazać gdzie się chowa to drugie rozwiązanie?

wredulus_pospolitus: x₁*x₂ = A −> A = x₁²*q x₃*x₄ = B −> B = x₁²*q⁵ i zapewne się chowa w x₁² <−−− tutaj

wredulus_pospolitus: x₁ + x₂ = 3 −> x₁(1+q) = 3 q²x₁(1 + q) = 12 −> q² = 4 −> q = ±2 dla q = 2 x₁ = 1 x₂ = 2 −> A = 2 x₃ = 4 x₄ = 8 −> B = 32 dla q = −2 x₁ = −3 x₂ = 6 −> A = −18 x₃ = −12 x₄ = 24 −> B = −288

a7: https://matematykaszkolna.pl/forum/1142.html na bazie metody z linku x₁=a x₂=aq x₃=aq² x₄=aq³ z wzorow Viete'a 1.x₁*x₂=a²q=A 2.x₃x₄=a²q⁵=B 3.x₁+x₂=3 4.x₃+x₄=12

	3
z trzeciego a+aq=3 ⇒ a=
	1+q

z czwartego aq²(1+q)=12 ⇒q=2 lub q=−2 a=1 (dla q=2) lub a=−3 (dla q=−2) a²q=A czyli A=2 lub=−18 , a B=32 lub B=−288

a7: o widzę, że się spóźniłam

FUITP: Kurde, bo nie umiem w swoim sposobie dojść do tego. Tak to zrobiłem: x₁, x₁*q, x₁*q², x₁*q³ (x−x₁)(x−x₁*q) = 0 x²−xx₁q − xx₁ + x₁²q = 0 x²−(x₁q + x₁)x + x₁²q = 0

FUITP: x₁q+x₁ = 3 ⇒ x₁(q+1) = 3 ⇒ x₁ = 1 ⋀ q+1 = 3 ⇒ q=2 x₁=1 x₁q³+x₁q² = 12 A = x₁²q=1*2=2 B = x₁²q⁵=1*32=32

FUITP: Nie wiem jak edytować post, ale analogicznie postąpiłem z drugim równaniem, stąd x₁q³+x₁q²=12

wredulus_pospolitus: chwila chwila ... Ty układ równań rozwiązujesz na zasadzie ... aaa podstawię sobie jakieś liczby do pierwszego równania, później do drugiego i zobaczę czy się zgadza Błąd jest w momencie rozwiązywania układu równań

FUITP: No nie. Wiem że iloczn x₁(q+1) = 3, więc x₁ = 1 i q+1=3 lub x₁ = 3 i q+1 = 1, druga opcja odpada bo q=0, więc nie ma ciągu. Nie można tego tak rozwiązywać? Jak powininem to rozwiązać moją metodą?

a7: ale przecież nie jest powiedziane, że to mają być liczby naturalne, także nie możesz tak w ogóle zrobić jak pokazujesz 15:26

wredulus_pospolitus: a co x₁(q+1) = 3 i x₁ = 0.5 i q = 5 już nie może być ? powinieneś rozwiązać UKŁAD RÓWNAŃ Który zresztą zapisałeś (klamerka i rozwiązujesz)

FUITP: Macie racje, zrobiłem tak: x₁q³+x₁q²=12 q²(x₁q+x₁)=12

	12
x1q+x1=
	q2

i to do drugiego równania

12
	= 3
q2

3q² = 12 q² = 4 q = 2 ⋁ q = −2 itd