Kombinatoryka salamandra: Wytłumaczyłby mi ktoś jak głupiemu co to jest wariacja, permutacja i różnica miedzy nimi, lub miedzy wariacja a kombinacja? Na lekcji robiliśmy jakiś eksperyment z pięcioma osobami, z nich wybieraliśmy 3, i coś tam ze to jest wariacja, a kombinacja to ilość możliwości ustawien trzech osób (to akurat rozumiem), ale reszta to totalny mętlik w głowie i definicje z podręcznika tez mi nic nie mówią

ite: Wykorzystaj tłumaczenie Ety 277199

salamandra: Co kiedy wykorzystać to inna bajka, na razie chciałbym w ogóle te pojęcia zrozumieć jakoś po ludzku. Przykładowo, mając właśnie grupę tych pięciu osób, i co będzie w tym permutacją, wariacją itp?

ite: Zadawaj po kolei pytania z 15:31.

salamandra: Dobra, to może inaczej− w tym wypadku wariacja bez powtórzeń będzie 60. I co to oznacza w praktyce?

janek191: P₅ = 5 ! = 120 3

	5 !
V5 =		= 60
	(5 − 3 ) !

Jerzy: Zacznij od prostych przykadów, abyś zrozumiał mechanizmy. Masz cztery osoby (A,B,C,D) . Ile mozesz z nich utworzyć par ?

ite: 15:04 Na 60 sposobów możesz spośród pięciu osób wybrać trzy, uwzględniając kolejność w jakiej zostały wybrane.

Jerzy: Na pierwszym miejscu wybierasz jedną z 5 , na drugim jedną z 4 , na trzecim jedną z 3 Masz: 5*4*3 = 60.

	5 3
Ale mozna inaczej: wybierasz 3 osoby z 5 na		sposobów i teraz je permutujesz,

bo ABC,to nie to samo co np. ACB

	5 3		5!		3!*4*5		4*5
Masz:		*3! =		*3! =		*3! =		*6 = 60
			3!*2!		3!*2!		2

Saizou : • Permutacja n−elementowa ustawiane n−osób w ciąg (kolejka do mięsnego) − ważna jest kolejność, elementy się nie powtarzają na pierwszym miejscu może stać n osób, na drugim (n−1)−osób (bez tego co na pierwszym) na trzecim (n−2)−osoby (bez tego co na pierwszym i drugim) itd. P(n)=n! • wariacja bez powtórzeń k−elementowa zbioru n−elementowego dalej tworzymy ciągi, ale o długości k mamy teraz ograniczoną liczbę miejsc w kolejce (np. chcemy ich umieścić w sklepie), gdzie mamy k miejsc na pierwszym miejscu może stać n osób na drugim n−1 osób na trzecim n−2 osoby ... na k−tym miejscu n−k+1 osób

	n!
Vkn=
	(n−k)!

• wariacja z powtórzeniami k−elementowa zbioru n−elementowego tak samo ja w wariacji bez powtórzeń, ale elementy mogą się powtarzać, czyli na każde miejsce przypada n−osób. W^k_n = n^k

Jerzy: W zarządzie spółki sa 4 osoby (A,B,C,D). Na ile sposobów mozna wybrać Prezesa i Wiceprezesa ?

Bleee: To moze inny przykład. Mamy 20 osób z których wybieramy skład 11 osobowy na mecz piłki nożnej. Kombinacja − poda nam ile różnych zespołów możemy utworzyć, w momencie w którym Przypisujemy im od razu pozycje na boisku (pierwszy wybrany jest bramkarzem, drugi to lewy obrońca, itd.) Wariacja poda nam ile różnych zespołów możemy utworzyć w momencie w którym NIE Przypisujemy im pozycji na boisku. Permutacja 11 zawodników poda nam na ile sposób możemy przydzielic pozycje na boisku wybranej już wcześniej 11'nastce. W tym momencie można zauważyć zaleznosc: V^k_n = C^k_n * P_k

Jerzy: @Bleee, jakim to cudem kombinacja przypisuje oreślone pozycje na boisku ? Kombinacja wybiera nam tylko 11 piłkarzy z 20 bez przydziału pozycji. Jeśli wybieramy 11 z 20 ustalając pozycje, to mamy: 20*19*18.......(11 czynników)

Bleee: Oczywiście powaliłem nazwy

Jerzy: @salamandra , to co omyłkowo Bleee nazwał kombinacją, to 11 elementowe wariacje bez powtórzeń zbioru 20 − elementowego ( bez powtórzeń , bo raz wybrany zawodnik na daną pozycję, nie może być wybrany po raz drugi na inną pozycję )

wredulus_pospolitus: Winno być: Wariacja − poda nam ile różnych zespołów możemy utworzyć, w momencie w którym przypisujemy im od razu pozycje na boisku (pierwszy wybrany jest bramkarzem, drugi to lewy obrońca, itd.) Kombinacja poda nam ile różnych zespołów możemy utworzyć w momencie w którym NIE przypisujemy im pozycji na boisku. Permutacja 11 zawodników poda nam na ile sposób możemy przydzielic pozycje na boisku wybranej już wcześniej 11'nastce. W tym momencie można zauważyć zaleznosc: V^k_n = C^k_n * P_k Reasumując: Permutacje −−− gdy wybieramy wszystkie elementy ze zbioru (czyli tylko je układamy w kolejność). Kombinacja −−− gdy z jakiegoś zbioru wybieramy część elementów, kolejność wyboru nie jest istotna Wariacja −−− gdy z jakiego zbioru wybieramy część elementów i kolejność wyboru jest istotna

Jerzy: Jeszcze rozróżniamy wariacje bez powtórzeń ( elementy ciagu nie mogą się powtarzać) i wariacje z powtórzeniami ( elementy ciągu mogą się powtarzać). Istnieja również kombinacje z powtórzeniam ( elementy mogą się powtarzać, ale ich kolejność nie ma znaczenia ).

salamandra: dzięki wam, po kolei lecę− 15:06 Jerzy, szczerze to nie wiem, jedyne tak naprawdę do tej pory co umiem zrobić, to wiedzieć na ile różnych sposobów można je ustawić i to bodajże jest kombinacja? 4!=4*3*2*1=24?

wredulus_pospolitus: i permutacje z powtórzeniami ... ale Jerzy −−− na razie nie jest to aż tak istotne dla salamandry. On dopiero zaczyna ten temat. Jak załapie różnice teraz dla 'bez powtórzeń' to wprowadzenie powtórzeń będzie dla niego banalnie proste.

salamandra: Jeszcze raz wrócę do pytania− wariacja bez powtórzeń = 60. Wybierając spośród 5 osób, 3. I co to znaczy to "uwzględniając kolejność w jakiej zostali wybrani" Czyli, że jak mam osoby A B C D E to ABC i BCA to będzie inna wariacja/kombinacja czy jak?

Jerzy: 15:06 , to dwuelementowe kombinacje zbioru (A,B,C,D) , czyli: AB , AC , AD, BC , BD , CD

	4 2		4!		2!*3*4
jest ich:		=		=		= 6
			2!*2!		2*2

wredulus_pospolitus: 15:59 Wariacja bez powtórzeń bierze pod uwagę kolejność czyli wybranie: ABC oraz ACB czy też CAB itd. to INNE zdarzenia gdyby one były tym samym zdaniem, wtedy byśmy mówili o kombinacji bez powtórzeń.

salamandra: No to dochodzimy do momentu, gdzie spytam czy kombinację wykonujemy na wariacji? Potraficie mi podać jakiś prosty przykład, żebym mógł to cholerstwo w końcu załapać? Tylko może z mniejszymi liczbami niż 20,11

wredulus_pospolitus: no to mamy 4 osoby. Z tych 4 osób mamy wybrać 3 do delegacji. Kombinacja daje nam ile możliwych 'trójek' można uzyskać. Wariacja powie nam ile różnych 'trójek' można uzyska w momencie w którym: pierwszy wybrany jest przełożonym, drugi jest sekretarzem, a trzeci robi za programistę. (przy założeniu, że każdy z tej czwórki może pełnić dowolną pozycję w czasie delegacji)

Jerzy: Spróbuj 15:15

wredulus_pospolitus: więc:

	4 3
K34 =		= 4

czyli mamy takie możliwe delegacje: ABC, ABD, ACD, BCD i koniec (bo kolejność nie jest istotna)

	4!
V34 =		= 4*3*2 = 24
	1!

czyli mamy takie możliwe delegacje: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB czyli tutaj KOLEJNOŚĆ jest istotna

salamandra: no to 15:15, to chyba analogicznie jak zrobiłeś tę dwuelementową kombinację zbioru (A,B,C,D)?

salamandra: Czyli kombinacja to ile może być trójek (bez przypisywania ról), a teraz jakby każdy miał pełnić za każdym razem inną rolę to wariacja?

salamandra: Umielibyście to wytłumaczyć regułą mnożenia? Bo to w miarę rozumiem, ale ten symbol Newtona to kompletnie nie wiem skąd ten wzór się wziął (wzór znam, ale skąd on wynika). Nauczyciel powiedział, że w zasadzie wszystko się opiera na regule mnożenia.

salamandra: Dobra, CHYBA mniej więcej rozumiem, zaraz zacznę zadania rozwiązywać i się okażę, dziękuję Wam wszystkim na razie

wredulus_pospolitus: metoda mnożenia To może tak Wariacja 3 osób z 4 elementowego zbioru: pierwsza wybrana osoba na 4 sposoby druga wybrana osoba na 3 sposoby trzecia wybrana osoba na 2 sposoby Stąd: V³₄ = 4*3*2 = 24

wredulus_pospolitus: Kombinacja 3 osób z 4 elementowego zbioru: pierwsza osoba na 4 sposoby druga osoba na 3 sposoby trzecia osoba na 2 sposoby ... ale ... tutaj kolejność jest NIEISTOTNA więc wszystko musimy podzielić przez permutację 3 wybranych elementów, czyli przez 3! = 3*2*1 Stąd:

	4*3*2
C34 =		= 4
	3*2*1

salamandra: Nie rozumiem „pierwsza osoba wybrana na cztery sposoby”, czyli ze załóżmy mamy stanowiska pracy: prezes, wiceprezes, sekretarka, informatyk To ta pierwsza osoba może być jednym z czterech, druga już tylko jednym z trzech i trzecia jednym z dwóch?

wredulus_pospolitus: dokładnie

wredulus_pospolitus: albo wyobraź sobie sytuację, że jesteś na lekcji W−F'u i masz przed sobą kumpli z klasy i wybierasz skład. Pierwszą osobę wybierasz z (powiedzmy) 20 osób. Drugą z 18 osób (bo jedną wybrał kapitan przeciwnej drużyny), itd.

salamandra: I to wtedy jak by się nazywało?

salamandra: Jeżeli wybieram co drugą?

wredulus_pospolitus: nijak

wredulus_pospolitus: salamandra −−− na dobrą sprawę, jak będziesz później liczył prawdopodobieństwo to będę Ci doradzał NIE korzystać ze wzorów (zastanawiać się czy to kombinacja czy wariacja) tylko po prostu wypisywać możliwości wyboru. Na chwilę obecną masz kombinatorykę, więc (raczej) nie będziesz miał takiego zadania jak 17:03

salamandra: No właśnie nie chce w ogóle z tymi wzorami mieć nic wspólnego, bo podstawić do wzoru to nie problem, a ja chcę to rozumieć.

Jerzy: Ile możesz utworzyć kombinacji trzyelementowych ze zbioru {1,2,3} ?

salamandra: 3!?

Jerzy: A widzisz musisz zrozumieć. To jest zła odpowiedź.W kombinacji kolejność elementów nie ma znaczenia.Spróbuj jeszcze raz.

salamandra: Mam zadanie: W zawodach startowało 7 zawodników. Ile było możliwości klasyfikacji zawodników jeśli: a) wszyscy ukończyli bieg b) jeden nie ukończył biegu, jego nazwisko jest znane. c) jeden nie ukończył biegu, jego nazwisko nie jest znane. a) 7! w b i c nie wiem o co chodzi z tym nazwiskiem

salamandra: Jerzy, ale z powtórzeniami czy bez? Jeśli bez to jeden?

Jerzy: Dokładnie.Nie napisałem kombinacje z powtórzeniami. Ile utworzysz ciągów dwuelementowych ze zbioru {1,2} ?

salamandra: 2?

Jerzy: Tak,ale bez powtórzeń.A z powtórzeniami ?

salamandra: 1,1 1,2 2,1 2,2− cztery

salamandra: mógłby ktoś wytlumaczyć o co z tymi nazwiskami chodzi w zadaniu przeze mnie podanym?

wredulus_pospolitus: co do zadania 17:22 tak ... a) 7! b) 6! dlaczego ... bo wiemy KTÓRY nie ukończył biegu ... więc na pierwszym miejscu mógł być tylko jeden z 6 pozostałych zawodników, itd. c) 7! tu wystarczy że pomyślimy sobie o 'nie ukończył biegu' tak jakby przybiegł na ostatniej pozycji. 7 zawodników, 7 'pozycji' więc 7!

salamandra: no to w b) dobrze myślałem, a w c) to chodzi o to, że na tyle samo sposobów co w a) moga ukończyć i na koneic dopiero go jakby wykluczamy?

wredulus_pospolitus: Dokładnie (co do (c) ).

salamandra: teraz nie wiem dlaczego nauczyciel zadał nam z prawdopobieństwa (chyba), no ale zrobić musze więc Rzucamy raz dwoma kostkami do gry. Określ zdarzenie ktore jest przeciwne do zdarzenia A i okresl liczbe zdarzen mu sprzyjajacych gdy A to zdarzenie polegające na tym, że a) iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą b) suma wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą no i ja to zrobiłem wiadomo jak... 1*1, 1*3, 3*1, 1*5, 5*1 itd w podpunkcie a), domyślam się, ze inaczej się to robi, ale to chyba nie jest związane w ogóle z tym, co mi tłumaczyliście?

wredulus_pospolitus: a) zdarzenie przeciwne: iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą PARZYSTĄ b) zdarzenie przeciwne: suma wyrzuconych oczek jest liczbą PARZYSTĄ

wredulus_pospolitus: i to do TYCH zdarzeń masz wypisać (policzyć) liczbę zdarzeń sprzyjających

salamandra: no wiem, ja dobrze to zrobiłem, ale zrobiłem to metodą wypisywania, i nie wiem czy tak właśnie należy, czy jak się nie umie to tak się robi

wredulus_pospolitus: salamandra −−− i dlatego właśnie pisałem, że będę Ciebie nakłaniał by przy liczeniu prawdopodobieństwa NIE używać wzorów na kombinacje, wariacje. Ponieważ przy prawdopodobieństwie wiele innych czynników wpływa na to ile/jakie mamy możliwości.

wredulus_pospolitus: zdarzenie − że iloczyn wyrzuconych oczek jest liczba nieparzystą. Zastanówmy się, kiedy iloczyn dwóch liczb jest liczbą nieparzystą ... Odpowiedź: wtedy gdy obie mnożone liczby są nieparzyste. Więc ile mamy liczb nieparzystych na kostce ... Odp. 3 Więc #A = 3*3 = 9 (jest 9 zdarzeń w których ten iloczyn będzie liczbą nieparzystą)

wredulus_pospolitus: Przy tym zadaniu jeszcze wypisanie wszystkich możliwości można jakoś zrobić ... ale gdyby to był rzut 5−cioma kostkami to wątpię by Ci się chciało wszystkie możliwości wypisywać (i żadnej byś nie zgubił)

salamandra: no tak, tylko gorzej jak się trafi obszerniejsze zadanie teraz mam Określ zbiór wszystkich wyników Ω doświadczenia losowego i ustal rozkład prawdopobieństwa na zbiorze Ω gdy doświadczenie losowe polega na: a) wylosowania kuli określonego koloru z urny, w ktorej znajdują się dwie zielone i trzy kule czerwone b) trzykrotnym rzucie symetryczną monetą a) no tutaj to każdy przedszkolak by to rozwiązał

2
	− na zieloną
5

3
	na czerwoną
5

b) i tu chodzi o to, że pierwszą można wylosować na dwa sposoby, drugą na dwa sposoby i trzecią na dwa sposoby, więc 2*2*2=8 możliwości?

	1
wtedy		szans na którąś z nich?
	8

salamandra: O właśnie brakowało mi tej wiedzy, z 17:59 co napisałeś, nie wiedziałem które mogę wykluczyć, a które nie, dlatego wypisywałem.

wredulus_pospolitus: chodzi o wypisanie wszystkich możliwych wyników i podanie prawdopodobieństwa dla każdego z nich. w (b) będziesz miał (R− reszka, O − orzeł): R, R, R R, R, O R, O, R O, R, R R, O, O O, R, O O, O, R O, O, O i prawdopodobieństwo dla każdego z nich będzie takie samo i wynosić będzie 1/8

salamandra: no to coś tam świta, dzięki, lece dalej