Dowód algebtaiczny nn : Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność 3x³+3y³>2x²y+2xy².

xyz: 2x²y + 2xy² = 2xy(x+y) 3x³+3y³ = 3(x³+y³) = 3(x+y)(x²−xy+y²) zatem 3x³ + 3y³ > 2x²y + 2xy² ⇔ 3(x+y)(x²−xy+y²) > 2xy(x+y) ⇔ 3(x+y)(x²−xy+y²) − 2xy(x+y) > 0 ⇔ (x+y)[3(x²−xy+y²)−2xy] > 0 ⇔ x+y jest dodatnie (bo zarowno x jak i y jest dodatnie wiec ich suma jest dodatnia) natomiast wyrazenie 3(x²−xy+y²)−2xy = 3x²−3xy+3y²−2xy = = 3x²−5xy+3y² = 2(x²−2xy+y²) + x² −xy + y² = 2(x−y)² + x²−xy+y² wiadomo, ze (x−y)² ≥ 0 dla dowolnych x,y oraz x²−xy+y² > 0 dla dowolnych x,y (bo po przemnozeniu przez dwa mozna schowac do x² + y² + (x−y)² a to jest nieujemne) A wiec wyjsciowa nierownosc nie jest spelniona dla x=y bo wtedy 0 > 0 ? − nie a dla wszystkich pozostalych dodatnich x,y jest ok.

nn : Dziękuję bardzo.

a7: korzystam z wzoru na sześcian sumy (√3x+√3y)³−3*3x²√3y−3√3x83y²−2x²y−2xy²>0 wyłączam −x²y oraz −xy² przed odpowiednie nawiasy (√3x+√3y)³ −x²y*(−9√3−2)−xy²*(−9√3−2) wylączam (−9√3−2) przed nawias (√3x+√3y)³+ (−9√3−2)*( −x²y−xy²) wyłączam −1 przed nawiasy (√3x+√3y)³+(−1)(9√3+2)*(−1)( x²y+xy²) wychodzi suma samych dodatnich składników c.n.u. ? (√3x+√3y)³ >0 (9√3+2))*( x²y+xy²)>0

a7: @xyz np. dla x=y=1 jest spełniona 6>4

a7: x=y=2 też spełniona 48>32

xyz: faktycznie, zalozylem ze x=y=0, ale mialy byc dodatnie... pardon

a7: @xyz a u mnie poprawnie?

xyz: @a7 U Ciebie od samego poczatku jest nie ok, poniewaz √3x do potegi trzeciej to 3√3x³ a nie 3x³... wiec to odejmowanie i cala reszta jest niestety niepoprawna

a7: ok tu w linku jest ok https://matematykaszkolna.pl/forum/395497.html

xyz: faktycznie − fragment: 3(x²−xy+y²)−2xy mozna zapisac tak: 3(x²−xy+y²)−2xy = 3(x−y)² + xy i wtedy to tyle w dowodzie.

a7: ok, fajno