wykaz ze matura probna Gangster: 3x3 + 3y3 > 2x2y + 2xy2 wykaz ze dana rownosc zachodzi dla kazdych liczb dodatnich x,y Czy jesli doszedlem do postaci (x+y)[3(x−y)² +xy]>0 jest to wystarczajacy dowod? Dodatkowo opisałem to jako Iloczyn liczby dodatniej i sumy dwoch liczb z ktorych jedna jest dodatna a druga nieujemna jest zawsze liczba dodatnia. Jak bedzie punktowane to na maturze?

PW: Nie wymyśliłbym tego. Aż sprawdzę: (x+y)[3(x−y)² + xy] = (x + y)(3x² + 3y² − 5xy) = 3x³ + 3xy² − 5x²y + 3x²y + 3y³ − 5xy² = 3x³ + 3y³ + xy(3x − 5x +3x − 5y) = 3x³ + 3y³ + xy(−2x − 2y) = = 3x³ + 3y³ − 2x²y − 2xy² Rzeczywiście! Dowód jest poprawny. W takich wypadkach (kiedy mamy do czynienia z nierównością dwóch zmiennych) staram się spraowadzić do nierówności jednej zmiennej, co tutaj jest szczególnie łatwe. Skoro obie liczby x i y są dodatnie, to można oznaczyć y = px, gdzie p > 0. Wówczas badana nierówność przyjmie postać 3x³ + 3(px)³ > 2x²(px) + 2x(px)² i dalej równoważną 3x³ + 3p³x³ > 2px³ + 2p²x³ 3 + 3p³ > 2p + 2p² 3(p+1)(p²−p+1) > 2p(p+1) (dzielenie przez (p+1) > 0 daje nierówność równoważną) 3(p² − p + 1) > 2p 3p² − 5p + 3 > 0 Jest to nierówność kwadratowa, w której wyróżnik Δ = 25 − 36 < 0 i współczynnik przy p² jest dodatni, a więc jest spełniona dla wszystkich p, co oznacza prawdziwość badanej nierówności.

ite: o, jaki prosty i uniwersalny sposób