stereometria salamandra: Na rysunku przedstawiono siatkę bryły. Nazwij tę bryłę. Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość V 8²+h²=12² h=4√5

	16*4√5
Pp=		= 32√5
	2

Spodek wysokości będzie padał na środek okręgu opisanego/wpisanego w ten trójkąt.

	1
r=		h
	3

	4√5
r=
	3

Na ścianie bocznej prowadzę wysokość h_b ściana boczna to trójkąt równoramienny o bokach 16,18,18 więc 8²+h_b²=18² h_b=2√65 (2√65)²=r²+H²

	2√565
H=
	3

Czemu mi z tego nie wychodzi poprawnie?

wredulus_pospolitus: Bo wysokość tego czworościanu NIE JEST w środku okręgu wpisanego w podstawę Gdyby tak było to mamy: h_{'dolnej' ściany} = 2√9² − 4² = 2√65 h_podstawy = 4√3² − 2² = 4√5 d −−− krawędź ściany = 18 więc masz:

	2hpodstawy
(1) hczworościanu2 + (		)2 = 182
	3

	hpodstawy
(2) hczworościanu2 + (		)2 = (2√65)2
	3

podstawiamy

	320		2596
(1) hczworościanu2 = 324 −		=
	9		9

	80		2260
(2) hczworościanu2 = 260 −		=
	9		9

sprzeczność

salamandra:

	abc
Wyszło mi ostatecznie obliczając R=		i z tw. Pitagorasa R2+H2=182
	4PΔ

Domyślam się, że zadziałałoby to tylko w wypadku, gdy byłby to trójkąt równoboczny? Właśnie do identycznej sprzeczności doszedłem.... A dlaczego trzeba skorzystać akurat z okręgu opisanego a nie wpisanego? Co gdybym policzył r ze

	PΔ
wzoru		, gdzie p= połowa obwodu i wtedy zrobił
	p

r²+H²=h_b²?

wredulus_pospolitus: Okrąg opisany na trójkącie daje Ci punkt (środek okręgu) równo odległy do wierzchołków podstawy. Jako, że krawędzie boczne są sobie równe to otrzymujesz takie same (trzy) trójkąty prostokątne o podstawa: R, h_{czworościanu}, krawędź boczna Dlatego więc środek okręgu opisanego na podstawie (w tym przypadku −−− ze względu na krawędzie boczne) prezentuje nam gdzie znajduje się wierzchołek tegoż czworościanu.

wredulus_pospolitus: Natomiast zauważ, że w trójkącie równobocznym (i tylko wtedy) środek okręgu opisanego i wpisanego leży dokładnie w tym samym punkcie.

wredulus_pospolitus: gdyby krawędzie boczne NIE BYŁY by sobie równe, to wierzchołek tego czworościanu nie znajdowałby się nad środkiem okręgu opisanego na podstawie (jego położenie zależne byłoby od długości krawędzi bocznych).

salamandra: To jak wtedy sobie poradzić? Bo idąc tym sposobem, znowu doszłaby sprzeczność prawda? Bo te wysokości mogłyby być nachylone pod różnym kątem do którejś z krawędzi bocznych, a raczej krawędzie boczne do niej i gdyby krawędzie boczne nie były równe, to mogłyby być różne wysokości?

wredulus_pospolitus: Jeżeli wierzchołek nie znajduje się ponad środkiem okręgu opisanego na podstawie ... wtedy będzie podane gdzie się on znajduje (ponad którymś wierzchołkiem bądź ponad którąś krawędzią podstawy) ... nie sądzę aby znalazło się zadanie w którym masz bliżej nieokreślone miejsce wierzchołka i musisz wyznaczyć miejsce jego rzutu na płaszczyznę podstawy.

salamandra: Czyli generalnie wpoić sobie, ze będzie to środek okręgu OPISANEGO, a nie wpisanego i tyle?

wredulus_pospolitus: opisanego będzie jeżeli krawędzie boczne są sobie równe, jeżeli nie są równe to w zadaniu winno być podane gdzie leży rzut wierzchołka na płaszczyznę

wredulus_pospolitus: Ale na pewno −−− należy zapomnieć, że wyznaczasz z okręgu wpisanego

salamandra: Dzięki

salamandra: teraz mam zadanie: podstawą ostrosłupa jest romb, którego bok ma długość a, a krótsza przekątna ma długość d. Każda ze ścian bocznych tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α. Wyraź objętość tego ostrosłupa w zależności od a,d i funkcji trygonometrycznej kąta α.

	H
tgα=
	0,5a

	1
H=tgα*		a
	2

(0,5e)²+(0,5d)²=a² e²=4a²−d² e=√4a²−d²

	1		1		1		1
P1=P2=		*		*√4a2−d2*		*d*sin90 =		d√4a2−d2
	2		2		2		8

P3=P4=P1=P2

	1
Pp=		*d√4a2−d2
	2

	1		1		1		1
V=		*		*d√4a2−d2*tgα*		a=		a*d√4a2−d2*tgα
	3		2		2		12

No i nie wychodzi jak powinno...

Mila: Spodek wysokości ostrosłupa. 1) Jeżeli krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do podstawy pod takim samym kątem do płaszczyzny podstawy , to spodek wysokości ostrosłupa leży w środku okręgu opisanego na podstawie. 2) Jeżeli krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej długości , to spodek wysokosci ostrosłupa leży w środku okręgu opisanego na podstawie. 3) Jeżeli ściany boczne ostrosłupa są nachylone do podstawy pod takim samym kątem, to spodek wysokości ostrosłupa leży w środku okręgu wpisanego w podstawę.

salamandra:

wredulus_pospolitus: Po co liczysz P₁, P₂, itd.

	d*e
Prombu =		<−−− koniec ... podstawiasz i masz
	2

salamandra: debil... no debil.... wiedziałem że jest wzór e*f*0,5*sinα, ale przecież α=90, a ja sobie wpoiłem, że nie znam kąta więc z tego nie skorzystam...

wredulus_pospolitus: Miluś −−− jeszcze można dodać: 4) Jeżeli wysokości wszystkich ścian bocznych są tej samej długości to spodek wysokości ostrosłupa lezy w środku okręgu wpisanego w podstawę.

wredulus_pospolitus: A jak 'powinno' wyjść

salamandra:

	d2*(4a2−d2)*tgα
V=		, gdzie d∊(0;2a) i α∊(0;90)
	24a

salamandra:

	d*√4a2−d2*tgα*a
Mój wynik: V=
	12

wredulus_pospolitus: ach ... już wiem gdzie jest błąd

	H
tg α ≠
	0.5*a

salamandra: No nie gadaj, że spodek wysokości nie będzie na środku rombu....

Mila: Dzięki Arturku, dopiszę następnym razem salamndra , piszę rozwiązanie, tymczasem narysuj na kartce romb i wpisz w niego okrąg.

salamandra: cóż.... n−ta z rzędu nieprzespana noc się szykuje....

wredulus_pospolitus: to co zaznaczyłeś to NIE JEST kąt α

salamandra: no tak, bo to nie jest trójkąt równoramienny/równoboczny......

wredulus_pospolitus: będzie w środku rombu, ale kąt który zaznaczyłeś nie jest kątem pomiędzy ścianą boczną a podstawą To co zaznaczyłeś będzie tylko jeżeli ten romb jest kwadratem

	H
winno być tgα =
	0.5hpodstawy

salamandra: no tak, tylko jak teraz wyznaczyc h podstawy− przyrównać dwa wzory na pole?

wredulus_pospolitus: czerwona linia to bok (na podstawie) szukanego trójkąta (czyli h/2), a nie niebieska (czyli a/2)

wredulus_pospolitus: Tak ... to jest jeden ze sposobów (porównanie wzorów na pole rombu)

wredulus_pospolitus: Zauważ, że to jest przykład ostrosłupa gdzie kąty nachylenia ścian bocznych (ale i także wysokości tychże ścian bocznych) są sobie równe ... dlatego środek okręgu wpisanego. Inaczej poczyniona argumentacja pozwoli stwierdzić, że będzie to przecięcie się przekątnych (czyli ten sam punkt). Mam nadzieję, że z rysunku 20:56 rozumiesz jaki błąd popełniłeś

salamandra: Taaak, właśnie chciałem powiedzieć, ze niepotrzebnie mi na tyle sposobów to tłumaczysz po pierwszym rysunku już wiedziałem

salamandra: Jednak ciężko mi sobie wyobrazić, że tam już nie moge być kąt α, bo jakby, weźmy trojkat, pochylmy go w stosunku do biurka, no to w każdym miejscu na ścianie jest identyczny kat, czy to co napisałeś wynika stricte z definicji kata dwusciennego?

Mila: |DB|=d 1) w ΔAOD:

	1		1
a2=		d2+		|AC|2
	4		4

|AC|=√4a²−d²

	d*|AC|
2)		=a*h
	2

	√4a2−d2   d*   2
h=
	a

	1
r=		h
	2

	d*√4a2−d2
r=
	4a

3) W ΔSOL:

	H
tgα=		, H=r*tgα
	r

	d*√4a2−d2
H=r*tgα=		*tgα
	4a

	1		1		d*√4a2−d2
4) V=		*		*d*√4a2−d2*		*tgα
	3		2		4a

	d2*(4a2−d2)*tgα
V=
	24a

========================

wredulus_pospolitus: to jest kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy zauważ, że te wszystkie odcinki na ścianie bocznej są PROSTOPADŁE do krawędzi podstawy. Wyobraź sobie że mamy tą ścianę boczną i ją 'obniżamy (zmniejszamy wysokość ostrosłupa) ... cały czas te odcinki na ścianie bocznej są prostopadłe do krawędzi podstawy podstawy. W końcu h{strosłupa] = 0 ... cały czas te odcinki są prostopadłe do podstawy ... czyli ten środkowy odcinek to nic innego jak wysokość trójkąta wyznaczonego przez podstawę i połowy przekątnych −−− czyli połowa wysokość rombu

wredulus_pospolitus: zauważ, że ściana boczna NIE JEST trójkątem równoramiennym ... więc wysokość tego trójkąta (ściany bocznej) nie będzie spadać w połowie podstawy

salamandra: No wiem, tylko nie rozumiem czemu ten odcinek łączący spodek wysokości z punktem na krawędzi podstawy musi tworzyć kat prosty

wredulus_pospolitus: ponieważ jest on RZUTEM wysokości ściany bocznej, która jest prostopadła do krawędzi podstawy

salamandra: Chodzi mi o ten kat prosty który zaznaczyłeś na rysunku 20:56

salamandra: Przykładowo− ja nie widzę różnicy w takim czymś, bo przecież ściana w każdym miejscu jest nachylona w moim mniemaniu pod takim samym kątem do podstawy− przechylę nie wiem− książkę względem biurka, to nieważne skąd będę mierzył− kąt będzie identyczny

wredulus_pospolitus: oojjjjj nieeee

salamandra: Definicję kąta dwuściennego znam, ale jakoś w tym przypadku nie potrafię sobie tego przetłumaczyć, dlaczego te kąty się różnią, i ten kąt nachylenia ściany będzie akurat "sterowany" w przypadku ostrosłupa dajmy na to prawidłowego czworokątnego, odcinkiem łączycym spodek wysokości ze środkiem podstawy (połową wysokości podstawy)

Mila: salamandra , wyjaśniałam Ci jak mierzymy kąt dwuścienny, ale zapomniałeś, albo nie czytałeś. https://matematykaszkolna.pl/forum/396883.html

wredulus_pospolitus: Czyli w Twoim mniemaniu α = α zauważ, że:

	H
tgα =
	a

	H
tgα =
	b

czyli a = b <−−− narysuj mi taki trójkąt (pamiętaj, że to dla dowolnego 'b' tutaj) włącznie dla szarego miejsca

salamandra: Milu− mówię, kąt dwuścienny rozumiem, ale głupio, powiedzmy sobie− głupio analizując jakieś nachylenie książki do biurka nie potrafię sobię wyobrazić, że w różnych miejsach będzie różny kąt nachylenia.

salamandra: Tak wredulus, dokładnie− wczoraj nawet zacząłem sobie w głowie analizować, dlaczego kąt nachylenia ściany do plaszczyzny podstawy się różni od kąta nachylenia KRAWĘDZI bocznej do podstawy, wiem, że to są głupie pytanie i mógłbym po prostu zapamiętać jak jest i tyle, ale nie tędy droga.

Mila:

wredulus_pospolitus: albo jak wolisz mamy ostrosłup PRAWIDŁOWY czworokątny (kwadrat w podstawie) ... czy prawdą jest że: α = α

salamandra: według mojego idiotycznego filozofowania− tak.

salamandra: jednak ten kwadrat mnie przekonał

wredulus_pospolitus: jednakowe kąty będą dla takich trójkątów (powtarzam rysunek z 21:24 gdzie czarne przerywane linie to połowy przekątnych tego rombu (czyli także kwadratu) zauważ, że boki tych kolorowych trójkątów są wzajemnie (na danej płaszczyźnie) równoległe do siebie i tylko jeden z nich (niebieski) będzie zawierał wysokość ostrosłupa jako jeden z boków.

wredulus_pospolitus: i oczywiście ... każdy z tych kolorowych trójkątów pokazuje kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy

salamandra: dzięki ci bardzo.... ...

salamandra: W ostrosłupie trójkątnym ABCS ściany ABC i BCS są trójkątami równobocznymi, których bok ma długość a. Oblicz jaka powinna być miara kąta dwuściennego miedzy tymi scianami, aby objętość była najwieksza. 1. Między którymi ścianami?

salamandra: czy "a" nie będzie również wysokością tego ostrosłupa, bo zauważam, że jak go przekręcę w bok, to AB będzie wysokością, a BCS podstawą

salamandra:

wredulus_pospolitus: pomiędzy tymi ścianami które są trójkątami równobocznymi ... w życiu ... 'a' nie będzie wysokością tego ostrosłupa wszystkie krawędzie boczne mają długość a (oraz dwa (na trzy) krawędzie postawy maja długość 'a' ) ... wysokość ostrosłupa nie może być równa długości krawędzi ściany każdej ze ścian bocznych

wredulus_pospolitus: ten ostrosłup jest baaardzo podobny do tego z pierwszego postu ... zamień tylko '12' na '18' i masz ten ostrosłup (dla a=18)

salamandra: to ABC nie będzie podstawą?

salamandra: Wybacz, ja już nie myślę dziś... przecież poza tymi zostaje mi tylko jedna krawędź..

wredulus_pospolitus: wyznaczamy α uzależniamy 'b' od α i a wyznaczamy objętość tego ostrosłupa

salamandra: No dobra, ale jak dalej zrobić, bo przecież nie wiem de facto gdzie będzie wysokość tego ostrosłupa, (nie mam wszystkich identycznych krawędzi bocznych, więc nie mogę z okręgu opisanego), to jak wyznaczyć objętość?

salamandra: (napisałem przed zobaczeniem odpowiedzi, już analizuję)

wredulus_pospolitus: Chwila ... ABC i BCS Na pewno

salamandra: Tak, ABC i BCS

salamandra:

	a3
odpowiedź to: V(a)=		*sinα
	8

	π
α=
	2

wredulus_pospolitus: α jest to kąt pomiędzy dwoma wysokościami identycznych trójkątów równobocznych o boku 'a' więc: H_ostrosłupa = h_{trójkąta równobocznego}*sinα Chociaż to trochę dziwne zadanie, bo wystarczy chwilę pomyśleć −−− P_p jest stałe (trójkąt równoboczny), więc trzeba maksymalizować wysokość ostrosłupa, a wysokość będzie największa dla kąta prostego (sinα = 1) i będzie równa wysokości podstawy Jest to wniosek z powyższego wzoru.

salamandra: wow, nawet dobrze wyznaczyłem H ostrosłupa. Tylko ja założyłem (pewnie błędnie, ale wyszło dobrze), że operując moim rysunkiem− to kąt między ścianą boczną BCS a płaszczyzną podstawy ABC

wredulus_pospolitus: to tak jakbyś miał ekierkę na krawędzi stołu ... kiedy ostrosłup będzie miał największą objętość (gdzie ściana którą możesz poruszać to właśnie ekierka) ... wtedy gdy ekierka jest prostopadła do stołu ... bo wtedy wysokość będzie największa

wredulus_pospolitus: No ale ja też zaznaczyłem dokładnie ten sam kąt ... pomiędzy podstawą (podstawa to też ściana ) a ścianą boczną

salamandra: czyli innymi słowy− aż wysokość ściany bocznej będzie również wysokością ostrosłupa odpowiednio wydłużając tę wysokość?

wredulus_pospolitus: A nawet gdyby chodziło o sytuację taką jak na rysunku z 22:30 to i tak możesz wtedy 'położyć' ostrosłup na innej ścianie, tak że dostaniesz rysunek z 22:41

salamandra: Tylko ciezko to sobie wyobrazic ze wydluzajac tę wysokosc nagle ten ostrosłup (ściana boczna) zacznie się "prostować"

wredulus_pospolitus: Dokładnie.

wredulus_pospolitus: weź do łapki ekierkę i sobie nią 'poruszaj' trzymając jeden bok ekierki na stole

salamandra: ostatnie zadanie...... W czworościanie ABCS krawedzie AC,AS,BC,BS,CS mają te sama dlugosc równą 1. Jaka powinna byc dlugosc krawedzi AB aby objetosc czworościanu była największa. wszystkie oprócz AB mają 1. Znów problemem dla mnie jest nieszczęsna wysokość....

salamandra: Niby wszystkie krawędzie boczne równe, więc środkiem będzie środek okręgu opisanego? ale co dalej

wredulus_pospolitus: A przewróć ten ostrosłup tak, żeby podstawą było np. BCS Narysuj ... podpisz długości krawędzi a później spójrz na rysunek z 22:41

salamandra:

	13		1√3		√3
wtedy R=		=		=
	12√3		3		3

R²+H²=1²

1
	+H2=1
3

	2
H2=
	3

	√2		√6
H=		=
	√3		3

Jak nie tak, to się poddaję na dziś.

wredulus_pospolitus: Co 1) Masz wyznaczyć ile ma się równać 'x' (bok) aby objętość była największa. 2) Więc objętość ostrosłupa jest ZMIENNA (więc i wysokość ostrosłupa będzie zmienna) Narysuj tak jak napisałem o 22:56 (pokaż rysunek)

wredulus_pospolitus: i jeszcze na kolor niebieski zaznacz te krawędzie które mają STAŁĄ długość (równą 1)

salamandra:

wredulus_pospolitus: jedyne co się może zmieniać to DŁUGOŚĆ krawędzi |AB| = x Kiedy objętość tego ostrosłupa będzie największa Kiedy wysokość tego ostrosłupa będzie równa ile To w takim razie |AB| = x = ... w takim przypadku

salamandra: kiedy H=√3?

wredulus_pospolitus:

	a√3		√3
kiedy H = htrójkąta równobocznego =		=
	2		2

wredulus_pospolitus:

	3		√6
wtedy x2 = 2(htrójkąta równobocznego)2 =		−> x =
	2		2

salamandra: tak, chochlik, bo będzie wtedy jak w poprzednim kąt prosty, więc wysokość ostrosłupa to wysokość ściany bocznej (trójkąta równobocznego o boku 1, więc h=√3)

	√3		√3
Wtedy z tw. Pitagorasa (		)2+(		)2 = x2
	2		2

	√6
x=
	2

salamandra:

	√3
h=		*
	2

wredulus_pospolitus: salamandra ... jak może wysokość ostrosłupa H = √3 >1 = krawędź boczna ostrosłupa Wysokość ostrosłupa = 'najkrótsza odległość' z wierzchołka do podstawy ostrosłupa Krawędź ściany boczne = 'jakaś tam' odległość (przeważnie 'nie najkrótsza) z wierzchołka do podstawy ostrosłupa

salamandra: zapomniałem podzielić przez 2, i tyle

salamandra: to z 23:17 to poirytowanie, że dwa razy ten sam chochlik przepisałem

wredulus_pospolitus: teraz ewentualnie spróbuj się zastanowić jak to zadanie rozwiązać bez 'przekładania' ostrosłupa i bez zauważenia tego na czym polegało poprzednie zadanie.

wredulus_pospolitus: (wtedy trzeba się trochę napracować)

Mila: 1) W ΔADC: CD=h

	x2		√4−x2
h2=1−		⇔h=
	4		2

4−x²>0 i x>0

	1		√4−x2		1*1*x
2) PABC=		x*		=
	2		2		4R

R=... 3) H²=1²−R² i jesteś w domu, licz i napisz wynik

salamandra: Muszę jeszcze jedno jednak zrobić... Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe 12+√3 a stosunek krawędzi podstawy a do wysokości ściany bocznej h jest równy 1:2. Oblicz pole P_b powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

	1
h=		a
	2

	a2√3
Pp=
	4

	1		1		3
Pb=3*a*		a*		=		a2
	2		2		4

Pc=Pp+Pb

	a2√3+3a2
12+√3=
	4

I z tego znow nie chce wyjść....

salamandra: Ok, złą proporcję wziąłem.

Mila: Dokończ to poprzednie zadanie wg 23:23 ( nomen omen)

salamandra: Jutro, dziś już nie mam siły, 8h robić pracę domową to przesada.... dziękuję Wam za dzisiejszą pomoc..naprawdę...