funkcje
mat:
Wyznaczyc najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji f(x,y,z)=x
4+y
4+z
4 na zbiorze
{(x,y,z) : x
2+y
2+z
2=1 ∧ x+y+z=0}.
Mam uklad:
x
2+y
2+z
2=1
x+y+z=0→z=−x−y
x
2+y
2+(x+y)
2=1
A co dalej?
7 lut 23:42
jc: Czy przy tych założeniach nie mamy równości x4+y4+z4=x2+y2+z2 ?
7 lut 23:58
jc: Podziel prawą stronę przez 2.
7 lut 23:59
jc: f(x,y,z)=1/2 na całym rozpatrywanym zbiorze.
8 lut 00:00
mat:
Czyli ten uklad rownan niepotrzebny.
x4+y4+z4=(x2+y2+z2)2=... jak to rozpisac?
Tak, zeby bylo widac, ze korzystam z tego, ze x+y+z=0.
Mozna prosic o rozpisanie.
Nie widze tego.
8 lut 00:46
jc: x+y+z=0
x2+y2+z2=1
f(t) = (t−x)(t−y)(t−z)=t3 − (x+y+z)t2 + (xy+yz+zx)t − xyz
0=xf(x)+yf(y)+zf(z) = x4+y4+z4 + (xy+yz+zx)
xy+yz+zx = [(x+y+z)2 − (x2+y2+z2)]/2=−1/2
x4+y4+z4=1/2
8 lut 00:52
mat:
Nie rozumiem tego:
f(t) = (t−x)(t−y)(t−z)
0=xf(x)+yf(y)+zf(z)
skad to sie bierze?
8 lut 10:54
ABC:
ktoś kiedyś wymyślił taką metodę , ja trochę inaczej to robię , jest tu w archiwum ale sam się
dokopuj
8 lut 11:20
8 lut 11:27
mat:
A nie mozesz wytlumaczyc?
8 lut 11:27
mat:
Dziekuje
8 lut 11:28
jc: Niefortunnie użyłem tej samej nazwy.
Wielomian w(t)=(t−x)(t−y)(t−z) definiuje pewną rodzinę wielomianów symetrycznych od x,y,z.
Wielomian ten przydaje się przy przejściu pomiędzy dwiema rodzinami
wielomianów symetrycznych:
x+y+z
xy+yz+zx
xyz
−−
x+y+z
x2+y2+z2
x3+y3+z3
Myślę, że to stara historia, sięgająca co najmniej Newtona.
8 lut 11:31
ABC:
ja bym zaryzykował że nawet od Viete'a się to zaczęło
8 lut 11:33
