Dowodzenie Patryk: Cześć, Mam takie zadanie: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność 2x2 + 5y2 + 10 > 6xy + 4y Czy mógłbym tutaj zastosować podstawienie np. x = yp tak jak w tym przykładzie zrobił PW czy to mógłbym zrobić tylko wtedy gdyby x i y były dodatnie? http://matematyka.pisz.pl/forum/395497.html *Czasami mam problemy z rozłożeniem na czynniki i próbuję takich tricków bo są prostsze niż sprowadzanie do wzorów skr. mnożenia.
28 sty 17:00
PW: Sprawdzamy czy nierówność jest prawdziwa dla y = 0 oraz dla x = 0 (łatwe, jest prawdziwa). Jeżeli obie liczby są różne od zera, to można podstawić y = kx, k∊R\{0} i rozważyć równoważną nierówność 2x2 + 5k2x2 + 10 > 6xkx + 4kx (*) (5k2 + 2 − 6k)x2 − 4kx + 10 >0, k≠0 Δ(k) = 16k2 − 4(5k2 + 2 − 6k)10 = 16k2 − 200k2 + 240k − 80 = − 184k2 + 240k − 80 Δk = −1280, a więc Δ(k) przyjmuje tylko wartości ujemne, co oznacza, że nierówność (*) jest prawdziwa dla wszystkich k. Równoważna jej badan a bierónośc jest zatem prawdziwa. Sprawdź rachunki, bo już ledwo widzę, i mogę się mylić.
28 sty 18:36
PW: Jeszcze konieczne jest zbadanie znaku współczynnika przy x2 − musi być dodatni dla wszystkich k, aby to co napisałem pod koniec było prawdą. Nie można tego zrobuć "w pamięci" jak ja to przyjąłem, bo rzecz nie jest oczywista.emotka
28 sty 18:42
Patryk: Oto mi chodziło emotka Dzięki wielkie. Czyli można generalnie takie podstawienie zawsze zrobić tylko trzeba sprawdzić czy nierówność jest prawdziwa dla 0? Czy coś jeszcze trzeba sprawdzić przez podstawieniem?
28 sty 18:44
a@b: Mnożąc nierówność obustronnie przez 2 otrzymamy: 4x2−12xy+9y2+y2−8y+16+4>0 (2x−3y)2+(y−4)2+4>0 dodać komentarz..... i po ptokach
28 sty 21:11
Patryk: Przepraszam, że odkopuje temat, ale skoro sprawdziliśmy, że dla x = 0 oraz y = 0 nierównośc jest prawdziwa to dlaczego k≠0 ? Gdybyśmy za k dali 0 wtedy by właśnie wyszła nierównośc prawdziwa bo y równałoby się 0.
1 lut 18:47
salamandra: Bo dla y=0 już zostało sprawdzone, dlatego później sprawdzasz co się dzieje, gdy tym zerem nie jest
2 lut 12:49
Mat: A co w przypadku gdy jedna z niewiadomych jest równa 0 a druga nie?
10 maj 14:32
ABC: jeżeli są związane zależnością y=kx , k≠0 to taka sytuacja zajść nie może
10 maj 14:35