Dowodzenie Patryk: Cześć, Mam takie zadanie: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność 2x² + 5y² + 10 > 6xy + 4y Czy mógłbym tutaj zastosować podstawienie np. x = yp tak jak w tym przykładzie zrobił PW czy to mógłbym zrobić tylko wtedy gdyby x i y były dodatnie? https://matematykaszkolna.pl/forum/395497.html *Czasami mam problemy z rozłożeniem na czynniki i próbuję takich tricków bo są prostsze niż sprowadzanie do wzorów skr. mnożenia.

PW: Sprawdzamy czy nierówność jest prawdziwa dla y = 0 oraz dla x = 0 (łatwe, jest prawdziwa). Jeżeli obie liczby są różne od zera, to można podstawić y = kx, k∊R\{0} i rozważyć równoważną nierówność 2x² + 5k²x² + 10 > 6xkx + 4kx (*) (5k² + 2 − 6k)x² − 4kx + 10 >0, k≠0 Δ(k) = 16k² − 4(5k² + 2 − 6k)10 = 16k² − 200k² + 240k − 80 = − 184k² + 240k − 80 Δ_k = −1280, a więc Δ(k) przyjmuje tylko wartości ujemne, co oznacza, że nierówność (*) jest prawdziwa dla wszystkich k. Równoważna jej badan a bierónośc jest zatem prawdziwa. Sprawdź rachunki, bo już ledwo widzę, i mogę się mylić.

PW: Jeszcze konieczne jest zbadanie znaku współczynnika przy x² − musi być dodatni dla wszystkich k, aby to co napisałem pod koniec było prawdą. Nie można tego zrobuć "w pamięci" jak ja to przyjąłem, bo rzecz nie jest oczywista.

Patryk: Oto mi chodziło Dzięki wielkie. Czyli można generalnie takie podstawienie zawsze zrobić tylko trzeba sprawdzić czy nierówność jest prawdziwa dla 0? Czy coś jeszcze trzeba sprawdzić przez podstawieniem?

a@b: Mnożąc nierówność obustronnie przez 2 otrzymamy: 4x²−12xy+9y²+y²−8y+16+4>0 (2x−3y)²+(y−4)²+4>0 dodać komentarz..... i po ptokach

Patryk: Przepraszam, że odkopuje temat, ale skoro sprawdziliśmy, że dla x = 0 oraz y = 0 nierównośc jest prawdziwa to dlaczego k≠0 ? Gdybyśmy za k dali 0 wtedy by właśnie wyszła nierównośc prawdziwa bo y równałoby się 0.

salamandra: Bo dla y=0 już zostało sprawdzone, dlatego później sprawdzasz co się dzieje, gdy tym zerem nie jest

Mat: A co w przypadku gdy jedna z niewiadomych jest równa 0 a druga nie?

ABC: jeżeli są związane zależnością y=kx , k≠0 to taka sytuacja zajść nie może