Maturalki Saizou : Tym razem trygonometria Zad 1 Wyznacz wartość sin 19° w zależności od a = cos 26°. Zad 2 Oblicz wartość wyrażenia cos 35°•cos40°+cos 130°•sin 395°, nie korzystjąc z tablic ani kalkulatora. Zad 3

	sin x(tg x + sin x)
Wyznacz dziedzinę funkcj f(x) =		.
	cos x(1 + sin x)

Uzasadnij, że przyjmuje ona tylko wartości nieujemne. Zad 4 Dla jakich wartości parametru a równanie |3−4sin²x|=a²+3 jest sprzeczne. Zad 5 Sprawdź, czy równość cos⁴x + sin⁴x = 1 −sin²(2x) jest tożsamością trygonometryczną. Zad 6 Wyznacz wszystkie liczby x należące do przedziału <0; 3π> i spełniające równanie 2 + cos(2x) = 5sinx Zad 7 Rozwiąż równanie sin(6x) + cos(3x) = 2sin(3x) + 1 w przedziale (0; 2π) Zad 8 Oblicz sumę pięćdziesięciu najmnniejszych dodatnich liczb spełniających równanie sin(4πx)=1

salamandra: Mógłbyś wytłumaczyć 1−sze? Bo nie rozumiem, "w zależności od a= cos 26"

Saizou : Wiesz, że cos 26=a i na tej podstawie masz przedstawić sin19 np. cos 15 =a i szukasz sin²15 sin²15=1−cos²15=1−a

janek191: sin² 15^o= 1 − a²

Saizou : cyfrówka

salamandra: hm, a np. sin19 = sin(45−26) i wzór sin(α−β) i coś z tego kombinować?

Saizou : To już masz prawie koniec

salamandra: bo chodzi o to, żeby po prostu w wyniku została stała "a"? tak?

Saizou : Tak

Szkolniak: Zadanie 6 2+cos2x=5sinx, x∊<0;3π> 2+1−2sin²x=5sinx 2sin²x+5sinx−3=0 t=sinx, t∊<−1;1> 2t²+5t−3=0 Δ=49=7²

	1
t1=−3∉<−1;1> v t2=		∊<−1;1>
	2

	1
sinx=
	2

	π		5π
x=		+2kπ v x=		+2kπ, k∊ℤ
	6		6

	π		5		13		17
x∊{		,		π,		π,		π}
	6		6		6		6

Saizou :

Szkolniak: Zadanie 8 sin(4πx)=1

	π
4πx=		+2kπ, k∊ℤ
	2

	k		1
x=		+
	2		8

	5		1
Rozwiązania tego równania tworzą ciąg arytmetyczny (an), w którym a1=		i r=
	8		2

	5		49		201
stąd: a50=a1+49r=		+		=
	8		2		8

	5		201		103
więc: S50=25*(		+		)=25*
	8		8		4

	2575
S50=
	4

salamandra:

	√2		√2
sin(45−26) = sin45*a−cos45*sin26 =		*a−		*sin26 , to tyle?
	2		2

Saizou : @salamandra jeszcze pozbyć trzeba się sin26

	5
@Szkolniak czy aby na pewno a1=		, jest najmniejszym dodatnim rozwiązaniem?
	8

salamandra: W jaki sposób?

Szkolniak:

	1		1		1		49		197
(a1=		∧ r=		) ⇒ a50=		+		=
	8		2		8		2		8

	99		2475
S50=25*		=
	4		4

Saizou : jedynka trugonometryczna

Saizou : Teraz dobrze

salamandra: 1−a²= sin²26 √1−a² = sin26?

Saizou : Tak

Szkolniak: Zadanie 5 L=sin⁴x+cos⁴x=sin⁴x+2sin²xcos²x+cos⁴x−2sin²xcos²x=(sin²x+cos²x)−2sin²xcos²x= =1−2sin²xcos²x sprawdzam czy: L₁=2sin²xcos²x=sin²(2x)=P₁ 2sin²xcos²x=4sin²xcos²x L₁≠P₁, zatem nie jest to tożsamość jest okej?

Saizou : Zapis trochę dziwny

	1
L=...=1−2sin2xcos2x=1−		sin2(2x)≠1−sin2(2x)=P
	2

salamandra: Muszę zostawić postać pod pierwiastkiem czy można to jeszcze jakoś wyciągnąć?

Saizou : Postać z pierwiastkiem jest dobra

salamandra: Może głupie pytanie, ale czemu nie można zrobić 1−a?

Szkolniak: √1−a²≠√1−√a²

Szkolniak: Zadanie 4 niech y=sin²x będzie naszą podstawową funkcją, jej zbiorem wartości jest przedział <0;1> przekształcamy kolejno wzór funkcji f: −4sin²x → <−4;0> −4sin²x+3 → <−1;3> |−4sin²x+3| → <0;3> zatem równanie |3−4sin²x|=a²+3 jest sprzeczne wtedy, gdy: a²+3>3 v a²+3<0 a²>0 v (a−√3)(a+√3)<0 a∊R\{0} v a∊(−√3;√3) a∊R Równanie jest sprzeczne dla a∊R. I jak?

Saizou : źle, a²+3 < 0 → takie a nie istnieje zatem... a=0

salamandra: 2. cos 35°•cos40°+cos 130°•sin 395° = cos35*cos40−cos50*sin35=cos35*sin50−cos50*sin35 = = sin50*cos35−cos50*sin35 = sin(50−35) = sin15

	√2		√3		√2		1
sin15 = sin(45−30) = sin45*cos30−cos45*sin30 =		*		−		*		=
	2		2		2		2

	√6		√2		√6−√2
=		−		=
	4		4		4

Saizou :

salamandra: W 3−cim skupiam się na mianowniku który ≠ 0?

Saizou : , to pierwsza część zadania + założenie co do tangensa

salamandra: mianownik: cosx(1+sinx) = cosx+cosxsinx cosx+cos(x)sin(x) ≠ 0 cosx(1+sinx) ≠ 0 1) cosx≠0 i 2) 1+sinx ≠ 0 1) cosx≠ 0

	π
x≠		+kπ, k∊C
	2

2) sinx ≠ −1

	3
x≠		π+2kπ
	2

	π
cz. wspólna: x≠		+kπ, k∊C
	2

Saizou :

	π
Czyli dziedzina to R\{		+kπ} dla k∊Z
	2

salamandra: A co z tym tangensem?

	π
x≠		+kπ
	4

salamandra:

π
	, sory.
2

Saizou : tutaj akurat założenia się pokrywają, bo

	sinx
tgx=		i masz założenie cosx≠0
	cosx

Szkolniak: Saizou racja, to a²+3<0 z rozpędu Zadanie 4 sin(6x)+cos(3x)=2sin(3x)+1, x∊(0;2π) 2sin3xcos3x+cos3x−2sin3x−1=0 cos3x(2sin3x+1)−(2sin3x+1)=0 (2sin3x+1)(cos3x−1)=0

	1
sin3x=−		v cos3x=1
	2

	7		11
x=		π+2kπ v x=		π+2kπ v x=2kπ, k∊ℤ
	6		6

	7		11
x∊{		π,		π}
	6		6

salamandra: Czyli to koniec 3−ciego?

Saizou : popraw rozwiązania, bo tam coś pomieszałeś przy dzieleniu

Saizou : jeszcze 2 cześć, pokazać, że ta funkcja przyjmuje tylko wartości nieujemne

Szkolniak: zapomniałem podzielić zad4*

	7		11
3x=		π+2kπ v 3x=		π+2kπ v 3x=2kπ
	6		6

	7		2		11		2		2
x=		π+		kπ v x=		π+		kπ v x=		kπ, k∊ℤ
	18		3		18		3		3

	7		11		2		19		23		4		31		35
x∊{		π,		π,		π,		π,		π,		π,		π,		π}
	18		18		3		18		18		3		18		18

Saizou : i teraz jest dobrze

salamandra: Szkolniak tak zasuwa, to zrobię to 7−me Rozwiąż równanie sin(6x) + cos(3x) = 2sin(3x) + 1 w przedziale (0; 2π) sin(6x)+cos(3x) = 2sin(3x)+1 / : 2

1		1		1
	*sin(6x)+		*cos(3x) = sin(3x)+
2		2		2

sin sin(6x)+sin(π−3x) = 2sin(3x)+1 2sin(3x)cos(3x)+cos(3x) = 2sin(3x)+1 cos(3x)(2sin(3x)+1) = 2sin(3x)+1 cos(3x)(2sin(3x)+1)−(2sin(3x)+1) = 0 (2sin(3x)+1)(cos3x−1) = 0 2sin(3x)+1 = 0 v cos3x−1 = 0 1) 2sin(3x)+1 = 0 2sin(3x) = −1 / : 2

	−1
sin3x =
	2

	−π		π
3x =		+2kπ / :3 lub 3x = π+		+2kπ / : 3
	6		6

	−π		2		7		2
x =		+		kπ lub x =		π+		kπ
	18		3		18		3

2) cos3x−1 = 0 cos3x = 1 3x = 2kπ / : 3

	2
x =		kπ
	3

	−π		2
1) x =		+		kπ
	18		3

	7		2
2) x =		π+		kπ
	18		3

	2
3) x =		kπ
	3

wszędzie k∊C sprawdzam k=0

	−π
1)		∉ do przedziału
	18

	7
2)		π ∊ do przedziału
	18

3)0 ∉ do przedziału k= 1

	11π
1)		∊ do przedziału
	18

	19
2)		π ∊ do przedziału
	18

	2
3)		π ∊ do przedziału
	3

k=2

	23π
1)		∊ do przedziału
	18

	31
2)		π ∊ do przedziału
	18

	4
3)		π∊ do przedziału
	3

k=3

	35π
1)		∊ do przedziału
	18

	43
2)		π ∉ do przedziału
	18

3) 2π∊ do przedziału

	7		11π		19		2		23π		31		4
Odp. x∊{		π,		,		π,		kπ,		,		π,		kπ,
	18		18		18		3		18		18		3

	35π
		, 2π}
	18

salamandra: sory, 2π już nie należy, bo przedział otwarty.

Saizou : @salamandra możesz walczyć z tym zadaniami, nie ważne że są już rozwiązanie Zadanie 2 z planimetrii czeka https://matematykaszkolna.pl/forum/395657.html

salamandra: Pierwszych paru linijek nie czytajcie, bo tam coś kombinowałem na początku i zapomniałem usunąć

Saizou : na zdrowie