Okręgi salamandra: Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A i B gdzie A(3,0), B(−1, 2) Którego środek leży na prostej o równaniu x−y+2=0. Jedyne co wiem, to że AO = BO i że jest to promień gdzie O to środek okręgu, ale co dalej?

Jerzy: S = (y − 2,y) (y − 2 − 3)² + (y − 0)² = (y − 2 + 1)² + (y − 2)² i obliczasz współrzędne środka i na koncu promień.

Tadeusz:

Tadeusz: Znacznie upraszcza liczenie jeśli zauwazysz, że szukany okrąg jest styczny do Ox w punkcie A wtedy współrzędne srodka masz niemal z automatu

Blee: @Tadeusz, może i upraszcza, ale to jest założenie którego nie może przyjąć.

Tadeusz: "zauważysz" to miałem na myśli nie z rysunku tylko wykazanie, że ....

salamandra: A co ma na celu przyrównanie przez Jerzego dwóch równań okręgu?

Jerzy: To porównanie odległości. Odległość A od S jest taka sama jak B od S.

salamandra: Skoro ta odległość to jest tak naprawdę prosta(odcinek), to dlaczego stosujemy równanie okręgu?

Blee: zauważ, że: 1) wyznaczył wzór ogólny okręgu: (x₁ − (y−2))² + (x₂ − y)² = r² ze względu na to że środek okręgu leży na prostej x = y−2 2) następnie podstawił współrzędne punktów które mają należeć do okręgu, więc: (3 − (y−2))² + (0 − y)² = r² (−1 − (y−2))² + (2 − y)² = r² 3) i przyrównuje lewe strony

Jerzy: Korzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów i porównujemy je ze sobą. To co napisałem, to już po podniesieniu obu stron równania do kwadratu, stąd nie ma już pierwiastków.

salamandra: Brakowało mi tego "r", czyli po wyliczeniach wyjdzie mi, że y = 5, więc S(3,5) i żeby obliczyć promień, to mogę jakoś ten wyliczony "y" wstawić do któregoś z równań? Wychodzi mi równanie tożsamościowe jak wstawię

salamandra: Rozumiem Jerzy, właśnie chciałem spytać dlaczego nie korzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów, nie zauwazylem tego podniesienia do kwadratu

salamandra: Ok, co do tego z 15:52 już wiem, po prostu zamiast pod jedno wstawić "y", a po prawej zostawić r², wstawiałem do (y − 2 − 3)2 + (y − 0)2 = (y − 2 + 1)2 + (y − 2)2

salamandra: Teraz mam problem z trudniejszym przykładem: b) przechodzącego przez punkt P(1,0), stycznego do prostych okreslonych równaniami: 1) x+y−2 = 0 2) x+y+3 = 0 Zauważam, że są to proste równoległe, więc odległość między nimi to średnica okręgu.

	25
Po obliczeniach wychodzi mi, że promień to		(dobrze, sprawdziłem).
	8

Wziąłem punkt leżący na pierwszej prostej M(2,0), i obliczyłem odległość tego punktu od prostej ze wzoru: https://matematykaszkolna.pl/strona/1249.html Natomiast teraz nie wiem jak wyznaczyć środek, wiem, że prawdopodobnie będą dwa, bo ten punkt P(1,0) może być zarówno po lewej stronie okręgu jak i prawej, zależy od środka. Prosiłbym o wskazówkę, nie o rozwiązanie, gdyż chciałbym to zrobić sam, ale zatrzymałem się w tym miejscu i nie wiem co dalej.

Mila: Podpowiedź:

	25		5√2
r2=		, r=
	8		4

1) Środek okręgu leży na prostej równoległej do obu prostych, jednakowo odległej od obu prostych.

salamandra: Czyli, jak wziąłem sobie ten punkt M(2,0), to biorę punkt N leżący na drugiej prostej, leżący na x = 2, czyli N(2,−5), w związku z tym, współrzędna "y" środka musi być równa −2,5?

Mila: Tak, napisz teraz równanie prostej :

	5
y=−x+b i przechodzącej przez (2,−		)
	2

Prościej środek odcinka dla punktów A=(0,2) i (B=(0,−3)

salamandra:

	|C1−C2|
a dlaczego jest wzór na odległość między prostymi równoległymi d =		, w
	√A2+B2

tym momencie to odległość między tymi prostymi (1 oraz 2) nie wychodziłaby 5.

salamandra:

	5√2
Odległość między prostymi to		, a jakby liczyć z odległości dwóch punktów, to
	2

wychodzi 5.

Mila: Odległość między prostymi to długość odpowiedniego odcinka prostopadłego ; d=|AA'|− odległość między prostymi. |AB|− odległość między punktami AB nie jest prostopadłe do k i do m

Mila: Przez środek AA' a także przez środek AB będzie przechodziła prosta równoległa do obu prostych i jednakowo odległa od nich.

salamandra: aha, a ja właśnie myślałem, że AB jest prostopadłe, ale to miałoby tylko zastosowanie, gdy prosta by była określona równaniem y=−5 oraz y = 0, racja?

	1
Obliczyłem równanie prostej: y = −x−		, ale nadal nie wiem jak wyznaczyć współrzędne
	2

środka

salamandra: Współrzędne środka (a, −2,5), więc odległość od punktu P(1,0) do tej prostej musi być równy promienowi?

Mila:

	25
(x−a)2+(y−b)2=
	8

	1		1
Środek okręgu należy do prostej y=−x−		⇔O=(a, −a−		)
	2		2

	25
Okrąg ma środek O , r2=		i przechodzi przez P=(1,0)
	8

	1		25
(1−a)2+(0+a+		)2=
	2		8

Saizou : K1 Tip: S leży na prostej równoległej do prostej l₁ oraz l₂ Cel: napisanie tej prostej K2

	1
Tip: r=		d d− odległość między l1 a l2
	2

Cel: wyznaczenie długości promienia okręgu K3 Tip: |SP|=r Cel: wyznaczenie współrzędnych punktu S K4 Cel: zapisanie równania okręgu (będą dwa takie okręgi)

salamandra: Dziękuję Wam, jeszcze dopytam, bo nie mogę tego zrozumieć, np. w pierwszy wpisie Jerzego, lub Mili, z tymi współrzędnymi środka, że np. S(y−2, y) [wpis Jerzego], jak do tego dojść?

Saizou : Skoro punkt leży na prostej, to spełnia jej równanie np. Niech punkt K leży na prostej o równaniu y=2x+3. Ogólnie punkt K ma współrzędne (x, y), ale wartość y możemy doliczyć przy pomocy wzoru prostej, czyli mam K = (x, 2x+3))

salamandra: Czyli skoro S(x,y), a x= y−2, to S(y−2, y) i robimy to po to, aby mieć tylko jedną niewiadomą?

Saizou : Dokładnie tak

salamandra: Tylko tutaj jest trochę w odwrotną stronę niż normalnie

Saizou : @Jerzy wybrał tę opcję, żeby nie mieć ułamków @Mila wybrała standardową opcję

salamandra: I w końcu nie wiem, czy Jerzy zastosował wzór na odległość dwóch punktów, czy tak jak Blee mówi, układ równań z dwoma równaniami okręgu, bo jeśli założyłbym, że to odległość dwóch punktów, to AS=BS. AS= √(y−2−3)²+(y−0)² BS = √(y−2+1)²+(y−2)² AS = BS y=5 S(3,5), i w tym momencie powinienem wyliczyć r ze wzoru √a²+b²−c z postaci ogólnej okręgu?

Jerzy: (AS)² = (BS)² i znikają pierwiastki.

Saizou : @Jerzy bardzo skrótowo opisał swoją metodę @Blee ją uszczegółowił. PS. niezależnie jaką metodę wybierzesz, ważne żeby wszystko co robisz było zgodne z prawami matematyki

salamandra: Wiem, ja to policzyłem i wyliczyłem środek, ale jak dojść do promienia?

Saizou : Zobacz na mój post z opisanymi krokami

salamandra: w b) już wiem o co chodzi, na chwilę wróciłem do tego a), bo teraz dopiero wszystko notuję.

Jerzy: Skoro masz współrzędne S , to promień jest odległością A od S lub B od S.

Feng Si Niang:

salamandra: no tak, czyli teraz po prostu wstawiam do jednego z nich (AS lub BS) otrzymane y, nie wiem dlaczego tego nie widzę

Jerzy: Liczysz odległość punktu A od S.

salamandra: Już wiem, wyszło, dzięki, pewnie się tu za niedługo odezwę, bo podejrzewam, że c) będzie trudniejszy.

Saizou : Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A i B gdzie A(3,0), B(−1, 2) Którego środek leży na prostej o równaniu x−y+2=0. S=(x, x+2) |SB|=|SA| Z tego masz współrzędne punktu S r = |SA|

Mila: Trzeba wykonać rysunek, to jest geometria. a) A(3,0), B(−1, 2) S=(a,b) − środek okręgu (x−a)²+(y−b)²=r²− równanie okręgu 1) środek okręgu należy do prostej : k: x−y+2=0⇔y=x+2 S=(a,b) − wsp. spełniają równanie y=x+2⇔ S=(a,a+2) |SA|=|SB|⇔ √(3−a)²+(0−a−2)²=√(−1−a)²+(2−a−2)² /² itd a=3 S=(3, 5) i A=(3,0) mają jednakowe wsp x−owe to : 2) długość promienia: r=|SA|=|5−0|=5 To samo wyjdzie z rachunku: r=|SB|=√(3+1)²+(2−5)²=√16+9=√25=5 (x−3)²+(y−5)²=25 ==========================

salamandra: Teraz mam podane, że okrąg jest styczny do osi y i prostej o równaniu y=−x oraz jego promień wynosi 3 Co powinienem najpierw z tych danych wyciągnąć?

salamandra: Skoro jest styczny do osi y i jego promień jest równy 3, to na pewno jest też styczny do prostej o równaniu x=6 lub x=−6 (?)

Jerzy: Pierwszy wniosek: S = (3,y)

salamandra: No właśnie do tego doszedłem. Potem wzorem na odległość środka od prostej y= −x, która musi się równać promieniowi?

Jerzy: Dokładnie.

salamandra: wyszły mi dwa rozwiązania, a powinny wyjść cztery: wyszło mi: S(3,y)

	|1*3+1*y|		|3+y|
d=		=		= 3
	√2		√2

3+y		1		3+y		1
	= 3 *		v		= −3 / *
√2		√2		√2		√2

3+y		3		3+y		−3
	=		v		=
2		√2		√2		√2

3+y		3√2		3+y		−3√2
	=		/*2 v		=		/*2
2		2		2		2

3+y = 3√2 v 3+y = −3√2 y= 3√2−3 v y= −3√2−3

salamandra: Aha, teraz muszę rozważyć przypadek, gdy S(−3,y)?

Mila: Tak .

Mila: k: y=−x 1) Promień jest prostopadły do OY w punkcie styczności . środek okręgu leży na prostej x=−3 lub x=3 S=(−3,b) lub x=(3, b) 2) odległość S od prostej x+y=0 jest równa 3

	|−3+b|
d(S,k)=		=3 i S=(−3,b)
	√2

|b−3|=3√2 b−3=3√2 lub b−3=−3√2⇔S=(−3,3+3√2 b=3+3√2 lub b=3−3√2⇔S=(−3,3−3√2) S=(3,b)

	|3+b|
d(S,k)=		=3
	√2

|b+3|=3√2 b+3=3√2 lub b+3=−3√2⇔ b=−3+3√2 lub b=−3−3√2⇔ S=(3,−3+3√2) lub S=(3,−3−3√2)

salamandra: A dlaczego w ogóle liczymy odległość od prostej x+y=0, a nie od prostej x=0? Przecież to też 3

Jerzy: Bo jest nieskończenie wiele okręgów o promieniu r = 3 stycznych do prostej x = 0 (czyli osi OY)

Mila: Liczysz odległość od prostek y=−x , bo okrąg ma być do niej styczny, ponadto ustalono, że środek okręgu należy do prostej x=−3 lub x=3 i to już ustala odległość od OY.

Mila: Prosta x=0 to y∊R i co policzysz?

salamandra: Dziękuję za pomoc

Mila: zadanie 1) P=(1,0) k: x+y−2 = 0⇔y=−x+2 m: x+y+3 = 0⇔ y=−x−3 1) Środek okręgu leży na prostej równoległej do obu prostych, jednakowo odległej od obu prostych a) Piszemy równanie prostopadłej do obu prostych i przechodzącej przez punkt ∊k np. A= (0,2) ( tak będzie najprościej ) y=x+2 b) Punkt przecięcia z prostą m: x+2=−x−3

	5		1
2x=−5 , x=−		, y=−
	2		2

	5		1
B=(−		, −		)
	2		2

środek AB

	5   0−   2		−1   2+   2
xs=		, ys=		=
	2		2

	5		3
S=(−		,−		)
	4		4

prosta s ||k i s||m S∊S

	1
y=−x−
	2

2) Odległość prostych równoległych z równań ogólnych:

	|−2−3)|		5√2
d(k,m)=		=
	√2		2

− długość średnicy okręgu:

	5√2
r=
	4

	1
3)O=(a, −a−		) ,P= (1,0)
	2

	1		25
(1−a)2+(a+		)2=
	2		8

	3		1
a=−		i b=
	4		4

lub

	5		7
a=		,−
	4		4

	3		1		5		7
O1=(−		,		), lub O2=(		, −		)
	4		4		4		4

Zostają równania.

salamandra: Dziękuję Milu jeszcze raz za wysiłek, chociaż wątpię, aby miał on miejsce