ciągi Nikto0: Witam. proszę o pomoc treść zadania zadanie 23 https://zapodaj.net/30e52ca8646dd.jpg.html próba rozwiązania https://zapodaj.net/872247b54f1a7.jpg.html Co mam źle?

Des: Moje oczy odmawiają współpracy

WhiskeyTaster: Za przeproszeniem, co to ma być? To jest ledwo czytelne. Jeśli już jesteśmy leniwi, to przynajmniej należy się upewnić, że jakość zdjęć jest dobra. Nie wiem, jak inni, ale mi szkoda oczu i czasu. Wrzucasz już tyle czasu zadania i nie zwracasz na to uwagi?

Blee: ok więc jaki wzór na sumę stosujemy tutaj? A jaki zastosowaliśmy?

	a1
Sn =		= 57
	1−q

	a2		a1q
Sn2 =		=		= 18
	1−q3		1−q3

	1−q3
a1 = 57*(1−q) = 18		⇔ 57q − 57q2 = 18 − 18q3 ⇔ 6q3 − 19q2 + 19q − 6 = 0
	q

widzimy od razu, że jednym z pierwiastków będzie q=1 (bo 6−19+19−6 = 0) 6q³ − 6q² −13q² + 13q + 6q − 6 = 0 (q−1)(6q² − 13q + 6) = 0 Δ = 169 − 144 = 25 −> √Δ = 5

	13 + 5
q1 =		= 3/2 > 1 <−−− odpada
	12

	13−5		2
q2 =		=		<1 <−−− jest ok
	12		3

Mariusz: a₂+a₅+a₈+... =18 a₁q+a₁q⁴+a₁q⁷+...=18

a1
	=57
1−q

a1q
	=18
1−q3

a₁=57(1−q)

57(1−q)q
	=18
(1−q3)

57(1−q)q=18(1−q³) 57(1−q)q=18(1−q)(1+q+q²) (1−q)(18q²+18q+18−57q)=0 (1−q)(18q²−39q+18)=0 1521−1296=225

	39−15
q1=
	36

	39+15
q2=
	36

	2
q1=
	3

	3
q2=
	2

q₂ > 1 odpada bo szereg geometryczny byłby rozbieżny

	57
a1=
	3

	2
q=
	3

Pozostaje jeszcze do rozpatrzenia przypadek gdy q=1

Nikto0: Przepraszam. Tutaj wstawiam lepszą wersję. https://zapodaj.net/4320fa86046e4.jpg.html co mam źle?

	a1
Blee nie rozumiem skąd się wzięło Sn=		=57
	1−q

Mariusz: Jaki jest wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego ?

Jerzy: Rozymiesz, co oznaczaja kropki po ostatnim znaku " + " ?

Nikto0: Aha. Nie wiedziałam że takie coś istnieje jak suma nieskończonego ciągu geometrycznego.Dziękuję

a7: https://matematykaszkolna.pl/strona/297.html

Blee: zacznijmy od tego że Ty korzystasz ze wzoru na sumę (n wyrazów) ciągu ARYTMETYCZNEGO

Mariusz: No to zacznijmy od sumy skończonego ciągu geometrycznego S_n=a₁+a₁q+a₁q²+...+a₁qⁿ⁻¹ qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+...+a₁qⁿ⁻¹+a₁qⁿ Odejmijmy drugie równanie od pierwszego S_n(1−q)=a₁+a₁q−a₁q+a₁q²−a₁q²+a₁q³−a₁q³+a₁qⁿ⁻¹−a₁qⁿ⁻¹ −a₁qⁿ S_n(1−q)=a₁−a₁qⁿ

	1−qn
Sn=a1
	1−q

Weźmy teraz granicę przy n→∞ lim_n→∞S_n=

	1−qn
limn→∞a1
	1−q

Teraz widać że jeżeli |q| < 1 to składnik qⁿ będzie dążył do zera natomiast gdy |q| > 1 otrzymamy granicę niewłaściwą

Nikto0: A pierwiastkiem ma być q=1 czy q=−1 bo odpowiedzi Mariusza i Blee się niezgadzają?

Nikto0: Przepraszam pomyliłam się.

Nikto0: A co się dzieje gdy q=1?

Mariusz: q=1 ciąg stały , ten ciąg także należałoby odrzucić

WhiskeyTaster: W każdym ciągu geometrycznym, gdy q = 1, to ciąg przyjmuje postać a₁, a₁, a₁... I wtedy jego suma jest zależna od a₁. Jeśli a₁ < 0, to jego sumą jest −∞, a gdy a₁ > 0, to jego sumą jest ∞. Z kolei suma n składników jest równa n*a₁.

Blee: A że niby w którym momencie odpowiedź moja i Mariusza się różni od siebie?

Nikto0: Nie różni się pomyliłam się.

piotr:

a1
	= 57
1−q

a1*q
	= 18
1−q3

|q| < 1 ⇒ (a₁ = −57/2, q = 3/2 ∨ a₁ = 19, q = 2/3) ∧ |q| < 1 ⇒ a₁ = 19, q = 2/3 a₁ = 19, a_n+1 = a_n*(2/3)