zadanie z matematyki dyskretnej Fasinir: Na pierwszy rok informatyki przyjęto 200 studentów, w tym 10 kobiet. Zostaną oni podzieleni na 7 grup ćwiczeniowych. Przy czym w każdej grupie musi być co najmniej 25 osób ale mniej niż 30. a) Na ile sposobów można ustalić liczebności poszczególnych grup? b) Na ile sposobów można przypisać panie do grup, tak aby w każdej grupie była przynajmniej jedna z nich?

Pytający: O ile grupy są rozróżnialne:

	7 k		(200−7*25−(5+1)*k)+(7−1) 7−1
a) ∑k=04((−1)k*		*		)

	7 7−k
b) ∑k=07((−1)k*		*(7−k)10)

Pytający: Wyżej podpunkt a jest źle (rozwiązałem dla nie więcej niż 30 osób w grupie). Dla mniej niż 30 osób w grupie powinno być:

	7 k		(200−7*25−5k)+(7−1) 7−1
∑k=05((−1)k*		*		)=84

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%3D0..5+of+%28-1%29%5Ek*nchoosek%287%2Ck%29*nchoosek%28200-7*25-5k%2B7-1%2C7-1%29 https://ideone.com/jE1X19

gosc:

	7 k
@Pytający dlaczego w a.) tam jest		a w kombinacji z powtórzeniami jest (200 −7*25 −5k) i

jeszcze to (−1)^k przed wszystkim?

gosc: To jes tak że (k=0) Do każdej z 7 grup wkładamm 25 studentów a pozostałych 25 rozmieszczam do 7 grup i permutuję 7! zeby grupy stały sie rozroznialne, a (k=1) to do 7 grup wkladam 25 studentow i jeszcze 5 wkladam do jednej z 7 grup ( w jednej grupie 30 ) a pozostalych 20 rozmieszczam do 7 grup

	7 2
(k=2) to do 7 grup wkladam 25 studentow i do		wkladam po 5 jeszcze i pozostalych 15

studentow rozmieszczam w 7 grupach coś takiego ?

gosc: a w podpunkcie B.) można powiedzieć że to jest S2(10,7)*7! ? że 10 kobiet na 7 bloków które nie są puste i żadna osoba sie nie powtarza i to z permutować aby otrzymać różne przypadki i wynik ?

Pytający: a) Mniej więcej ogarnąłeś. Równanie ∑_i=1⁷(x_i) = 200, 25≤x_i≤29 ma tyle samo rozwiązań, co: ∑_i=1⁷(x_i'+25) = 200, 0≤x_i'≤4 równoważnie (bo 200−7*25=25): ∑_i=1⁷(x_i') = 25, 0≤x_i'≤4 Niech: A // zbiór rozwiązań równania ∑_i=1⁷(x_i') = 25, 0≤x_i'≤4 B // zbiór rozwiązań równania ∑_i=1⁷(x_i') = 25, 0≤x_i' C_j // zbiór rozwiązań równania ∑_i=1⁷(x_i') = 25, 0≤x_i', 4<x_j' Wtedy:

	25+7−1 7−1		7 0
|B| =		// 1=		taki zbiór

	(25−1*5)+7−1 7−1		7 1
|C1|=|C2|=...=|C7| =		//		takich zbiorów

	(25−2*5)+7−1 7−1		7 2
|C1∩C2|=|C1∩C3|=...=|C6∩C7| =		//		takich zbiorów

itd. // jednak część wspólna 6 lub więcej różnych zbiorów C_j będzie zbiorem pustym (bo 25<6*5), znaczy liczności tych zbiorów to po prostu 0, stąd niżej sumujemy jedynie do 5 (coby wzór był sensowny; a zera można z sumy bezproblemowo wyrzucić) I teraz z włączeń i wyłączeń: |A| = |B| − |U_i=1⁷ C_i| =

	25+7−1 7−1		7 k		25−5k+7−1 7−1
=		− ∑i=15((−1)k+1*		*		) =

	7 0		25−5*0+7−1 7−1		7 k		25−5k+7−1 7−1
= (−1)0*		*		+ ∑i=15((−1)k*		*		) =

	7 k		25−5k+7−1 7−1
= ∑i=05((−1)k*		*		)

b) Można zrobić i tak jak napisałeś, patrz: 394098.

gosc: juz ogarnalem zasade wlaczen i wylaczen dla wiecej niz 3 zbiorow .. xd , bo od sumy wszystkich odejmujemy moc zbiorow pojedynczych potem dodajemy moc zbiorow przeciec dwoch zbiorow i odejmujemy moc zbiorow przeciec 3 zbiorow i tak dalej, a w pewnym momencie jak bedzie brac 6 zbiorow gdzie kazdy x_i>4 to wyjdzie 6 * 5 = 30 a elementów jest 25 dla wszystkich x w rownaniu i wcyhodzi 0 dalej