Wykaż, że każda liczba należąca do zbioru S jest nieparzysta. Natalie: Zbiór S jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb całkowitych n, dla których istnieje permutacja (a1, a2, . . . , an) liczb 1, 2, . . . , n, taka że a1 +a2 +. . .+ak jest wielokrotnością liczby k dla każdego k = 1, 2, . . . , n. Wykaż, że każda liczba należąca do zbioru S jest nieparzysta. Znajdź dwie liczby tego zbioru. Zbadaj, czy liczba 2019 należy do zbioru S.

Bleee: Było niedawno. Poszukaj w wyszukiwarce forum. To z jakiegoś konkursu?

Natalie: Szukałam i nie znalazłam, a koniecznie potrzebuję odpowiedzi. A zadanie z olimpiady o indeks agh

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/392796.html

Natalie: Dziękuję bardzo.

Blee: Nie wiem czy jeszcze zajrzysz tutaj i nie wiem czy w ogóle będziesz chciała o tym wiedzieć, ale i tak napiszę. Napiszę tutaj w jaki sposób 'podchodziłem' do tego konkretnego zadania: 1) Wykazanie, że n musi być postaci 2k+1 (czyli liczbą nieparzystą) robiło się od razu,

	n+1
wystarczyło przyjrzeć się jak wyglądać będzie suma tych wyrazów i że to		*n
	2

2) Do dalszej części zadania podchodziłem z dwoma (wzajemnie wykluczającymi się) hipotezami: 2.a) Zbiór S jest nieskończony. Natomiast kolejne elementy zbioru S jesteśmy w stanie wykazać z poprzedniego. Czyli, że jeżeli istnieje takie ułożenie dla n = 2k+1 , to będzie istniało dla jakiegoś n+j = 2k + 1 + j w taki sposób, że ułożenie elementów a₁ do a_n pozostaje takie samo co było dla n, natomiast dla elementów a_n+1 do a_n+j wykorzystujemy TYLKO liczby z przedziału <n+1 ; n+j> W tym momencie, możemy indukcyjnie wykazać nieskończoność tego zbioru i sprawa załatwiona 2.b) Zbiór S jest skończony. To jednak rodziło problem − trzeba znaleźć tenże maksymalny element w zbiorze S, oraz wykazać, że nie będzie żadnego większego. Początkowo skłaniałem się do tej pierwszej hipotezy, ponieważ: − było to zadanie z pierwszego etapu, − dałem się nabrać na pytanie: "czy 2019 należy do zbioru" (co sugerowało mi, że jeżeli S jest skończony, to największy element nie będzie mały) − stwierdziłem, że udowodnienie tego że ZADNA kombinacja nie wchodzi w grę może być dosyć trudna (jak na etap konkursu). 3) Dlatego zacząłem sprawdzać na konkretnych liczbach (np. n = 31 , n = 13, n = 11)

	n+1
I szybko zauważyłem, że aby korzystać TYLKO z 'dużych' liczb (przekraczających		) jest
	2

to po prostu niemożliwe Dodatkowo zauważyłem, że jedyna możliwość aby to było spełnione dla ostatnich wyrazów, czyli: a₁ + .... + a_n−2 + a_n−1 a₁ + .... + a_n−2 to musimy dwa razy odjąć ten sam element Np. dla n=31 mamy Suma = 496 aby Suma − a_n było podzielne przez n−1 = 30 to musimy odjąć DOKŁADNIE 16. ale wtedy aby Suma − 16 − a_n−1 było podzielne przez n−2 = 29 to musimy znowu odjąć DOKŁADNIE 16. I sprawdziłem to dla paru takich n. W tym momencie zacząłem się przychylać do drugiej hipotezy. 4) Dlatego też zacząłem się przyglądać ogólnej postaci a₁ + .... + a_n−2 + a_n−1 oraz a₁ + .... + a_n−2 I stąd dalsze rozwiązanie Natomiast samo rozwiązanie wykonane przez 'jc' jest o wiele zgrabniejsze i przejrzyste (ale oczywiście wymaga odpowiedniej 'opisówki', jak to bywa zresztą przy okazji każdego rozwiązania konkursowego).