AGH diamentowy indeks zad. 7 Tajemniczy_gosciu: Tegoroczny diamentowy indeks AGH. Już po pierwszym etapie, zadane 7 mnie położyło. Jak je zinterpretować i rozwiązać? Doszedłem do co najmniej 4 interpretacji i stwierdziłem że już go nie robię. Proszę uprzejmie o pomoc i wasze propozycje http://www.diament.agh.edu.pl/fileadmin/default/templates/css/j/diament/system/zadania/mat/2019/matematyka_i_2019_2020_pqmsl.pdf

Bleee:

	n+1
Zauważ że 1 + 2 +.... + n =		*n
	2

	n+1
Tak więc żeby a1+...an = 1+2+...+n dało wielokrotnoscia n to		musi być całkowite,
	2

więc n musi być liczba nieparzysta.

Bleee: A nad resztą chwilę pomyślę

jc: n=1, 1|1 n=3, 1|1, 2|1+3, 3|1+3+2 5 nie. Ostatnią liczbą w ciągu musi być 3, bo tylko 15−3 jest wielokrotnością 4. Suma 4 pierwszych = 12, suma 3 pierwszych powinna wyć wielokrotnością 3, a więc 4 liczba = 3, ale 3 jest na końcu. Może podobnie da się rozstrzygnąć 3 pytanie?

Blee: jc ... ja 'idę od końca'

	n(n+1)
wiemy, że a1 + ... +an =
	2

w takim razie a₁ + .... + a_n−1 ile musi się równać mamy trzy opcje:

	n(n+1)		(n−1)(n−2)
1)		− n − (n−1) =
	2		2

	n(n+1)		(n+1)(n−2)
2)		− n − (n−1) + (n−2) =
	2		2

	n(n+1)		(n+3)(n−2)
3)		− n − (n−1) + 2(n−2) =
	2		2

czyli a_n−1 + a_n = (odpowiednio) 1) 2n−1 = n + (n−1) 2) n + 1 3) 3 = 2+1 tylko takie trzy opcje wchodzą w grę. Teraz sprawdzamy ile musi się równać samo a_n aby spełniona była suma a₁ + ... a_n−1 1.a) a_n = n odpada, bo wtedy

	n(n+1) − 2n		n*(n−1)
a1 + ... an−1 =		=		a przecież n nie jest podzielne przez
	2		2

2 (bo n to liczba nieparzysta) 1.b) a_n = n−1 mamy wtedy

	n(n+1) − 2(n−1)		n*(n−1) + 2n − 2n + 2		n(n−1) + 2
a1 + ... an−1 =		=		=		=
	2		2		2

	(n−1)(n−1) + n+1
		co może być podzielne przez (n−1) tylko gdy (n+1) podzielne przez
	2

(n−1), a to będzie spełnione gdy: I) n = 2 ... odpada II) n = 3 ; wtedy n−1 = 2 ; n+1 = 4

	n+1		2
II) dla n > 3 odpada bo		= 1 +
	n−1		n−1

3.a) a_n = 1 odpada bo

n(n+1) − 2		n2 + (n−1)		n*(n−1) + (n−1) + n
	=		=		nie może być podzielne przez
2		2		2

(n−1) (bo n nie jest podzielne przez n−1 > 1) 3.b) a_n = 2 mamy

n(n+1) − 4		n2 + (n−1) − 3		(n2−1) + (n−1) − 2
	=		=		=
2		2		2

	(n+1)(n−1) + (n−1) − 2
=		może być podzielne przez (n−1) tylko gdy 2 podzielne przez (n−1)
	2

więc mamy to co w (1.b) Więc dla n>3 zostaje nam tylko opcja (2) do rozpatrzenia

Blee: 2) a_n−1 + a_n = n+1 (dla n>3) zauważmy, że jeżeli istnieje x∊<3;n−2>* taki, że n(n+1) − x będzie podzielne przez (n−1) to będzie to DOKŁADNIE jeden taki x (ponieważ x + (n−1) ≥ 3 + (n−1) = n+1 > n <−−− więc każda kolejna możliwość wypada poza rozpatrywany przedział) * Uwaga odrzucam możliwości x = 1, x=2 , x=n−1 i x=n, ponieważ już wcześniej wykazaliśmy, że nie możliwa jest wtedy podzielność przez (n−1) dla n>3 więc jakie mamy możliwości? zauważmy, że

n(n+1)		n2 + n		n2 + 2n − 3		(n−1)*(n+3)
	=		<		=		(dla n>3)
2		2		2		2

zauważmy także, że:

n(n+1) − (n−2)		n2 + 2n + 2		n2 − 3n + 2		(n−1)(n−2)
	=		>		=
2		2		2		2

czyli:

(n−1)(n−2)		(n−1)(n+3)
	< a1 + .... an−1 <
2		2

więc mamy takie możliwości a₁ + .... a_n−1 =:

	(n−1)(n−1)
I)
	2

	(n−1)(n)
II)		<−−−− odpada bo n nie jest podzielne przez 2
	2

	(n−1)(n+1)
III)
	2

	(n−1)(n+2)
IV) I)		<−−−− odpada bo (n+2) nie jest podzielne przez 2
	2

I)

n(n+1)		(n−1)(n−1)
	−		= x
2		2

2x = n² + n − (n² − 2n + 1) = 3n − 1

	3n − 1		2n − 1		2n − 2
x =		>		>		= n−1 <−−−− odpada
	2		2		2

III)

n(n+1)		(n−1)(n+1)
	−		= x
2		2

2x = n² + n − (n² − 1) = n + 1

	n+1
x =		<−−− jest oki
	2

w takim razie:

	n+1
an =
	2

	n+1
skoro an−1 + an = n+1 to an−1 =		= an sprzeczność
	2

No i wykazaliśmy, że dla n>3 nie ma możliwości stworzenia takiej permutacji. Dlatego też S = {1,3}

Blee: Niestety ... mój zapis jest nieco 'chaotyczny' więc może opiszę jaki plan działania przyjąłem 1) wykazałem, że n = 2k+1 (liczba nieparzysta) 2) sprawdziłem jaka może być suma a₁ + ... a_n−2 tak aby to wszystko było podzielne przez (n−2) 3) na tej podstawie wyznaczyłem ile może być równe a_n−1 + a_n 4) później sprawdziłem dla których z tych przypadków (z 2 i 3) zajdzie podzielność a₁ + .... a_n−1 przez (n−1)

jc: a = ostatni wyraz, b= przedostatni n=2k+1, k>1 n−1 | n(n+1)/2 −a n−2 | n(n+1)/2 −a−b 2k | (2k+1)(k+1)−a, 2k | k+1−a 1 ≤ a ≤ 2k+1, a=k+1 2k−1 | (2k+1)(k+1) − a−b, 2k−1 | 2(k+1)−a−b = k+1−b 1 ≤ b ≤ 2k+1, jeśli k>1, to b=k+1 Sprzeczność bo a≠b