równania rózniczkowe study9: Rozwiązać równania różniczkowe:

	2x
a. y'+		=0
	y

b. y'+y=x ps. jakie to są typu równań?

wredulus_pospolitus: a) analogiczne masz tutaj rozwiązane https://matematykaszkolna.pl/forum/391052.html b) y' + y = x e^xy' + e^xy = e^xx (e^xy)' = xe^x .... ciągnij dalej ten przykład

study9: a. dochodze do momentu y²=−2x²+c1 i co dalej?

wredulus_pospolitus: a) y² = c₁ − 2x² y = ± √c₁ − 2x² co można zapisać również w postaci: y = ±√2*√c₂ − x²

piotr: no to spierwiastkuj

study9: i co dalej? bardzo prosze o rozw

wredulus_pospolitus: i to koniec masz postać dwóch rodzin funkcji spełniających to równanie

study9: a jak bedzie b ?

Jerzy: Klasycznie: y = C*e^−x Uzmienniasz stałą: y = C(x)*e^−x y' = C'*e^−x − C*e^−x Wstawiasz do rownania: C'*e^−x − C*e^−x + C*e^−x = x C'e^−x = x C' = xe^x C =∫xe^x = xe^x − e^x = e^x(x − 1) y = e^x(x − 1)*e^x = x − 1 Rozwiązanie: y = x − 1 + C

Jerzy: Przedostatnia linijka miało być: y = e^x(x−1)*e^−x = x − 1

Jerzy: Albo prościej ( jak pokazał @wredulus ) (e^xy)' = xe^x e^xy = ∫xe^xdx = xe^x − e^x = e^x(x − 1) Zatem: y = x − 1 + C

Jerzy: Co do a) , nie jest to równanie analogiczne, chociaż pierwsza część rozwiazania stanowi rozwiazanie tego równania ( zmienne rozdzielone )

dy		2x
	= −
dx		y

dyy = −2xdx

1
	y2 = −x2 + C1
2

y² = C − 2x²

	+
y =		√C − x2
	−

Jerzy: C − 2x² pod pierwiastkiem oczywiście.

Bleee: Jerzy... Uwaga do (b) e^xy = e^x(x−1) + C y = x−1 + ce^−x

Mariusz: a)

	2x
y'+		=0
	y

b) y'+y=x a) Równanie o zmiennych rozdzielonych

	2x
y'+		=0
	y

	2x
y'=−
	y

2yy'=4x y²=2x²+C y²−2x²=C b) y'+y=x To jest równanie liniowe niejednorodne pierwszego rzędu ale podstawieniem można sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych y'+y=x y'=x−y u=x−y

du		dy
	=1−
dx		dx

dy		du
	=1−
dx		dx

	du
1−		=u
	dx

	du
1−u=
	dx

du
	=dx
1−u

−1
	du=−dx
1−u

ln|1−u|=−x+C₁ 1−u=C₂e^−x 1−C₂e^−x=u x−y=1−C₂e^−x x−1+C₂e^−x=y y=x−1+Ce^−x

Jerzy: Racja Artur, miało być: y = x − 1 + Ce^−x

Jerzy: No i funkcja y = x − 1 + C , którą podałem spełnia równanie dla C = 0