Pochodna Jakub99: Rozwiąż równanie różniczkowe y'−2y/x=e⁻1/x Z góry dziękuję za pomoc.

Mariusz: Równanie liniowe niejednorodne pierwszego rzędu y'−2y/x=e^−1/x Rozdzielasz zmienne w równaniu jednorodnym

	2y
y'−		=0
	x

	2y
y'=
	x

dy		2y
	=
dx		x

dy		2
	=		dx
y		x

ln|y|=2ln|x|+C₁ y=C₂x² y(x)=C(x)x² a następnie uzmienniasz stałą C'(x)x²+2xC(x)−2C(x)x=e^−1/x C'(x)x²=e^−1/x

	1
C'(x)=		e−1/x
	x2

C(x)=e^−1/x+C₃ y(x)=x²e^−1/x+Cx² y'−2y/x=e^−1/x Możesz też poszukać takiej funkcji aby po przemożeniu przez nią równania lewa strona przybrała postać pochodnej iloczynu jednak ten sposób nie uogólnia się

jc: Funkcja taka została już znaleziona, taki sam rachunek, który doprowadził do równości y=C₂x². (y/x²)' = y'/x² − 2y/x³ = (y'−2y/x)/x² = (1/x²)e^−1/x = (e^−1/x)' y/x²=C + e^−1/x W prostych przypadkach, a w zadaniach na ogół mamy proste przypadki, rozwiązanie opiera się na zauważeniu, że coś jest pochodną czegoś innego. Oczywiście warto znać ogólne metody, ale jak widać, z czym mamy do czynienia, nie warto ich stosować. Uwaga dotyczy wszelkich równań, choćby równania kwadratowego.