równanie z ciągiem jadwigas: rozwiąż równnie , gdize lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego

1		1
	+		+...=x
x−1		(x−1)2

wredulus_pospolitus: Skoro masz podane, że lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego, to jakie uzyskujesz dzięki temu informacje

wredulus_pospolitus: podpowiem Ci ... przynajmniej 4 (istotne) informacje uzyskujesz, postaraj się je tutaj wypisać

6latek:

	1
1) a1=
	x−1

	1
2) q= a2/a1=
	x−1

3) |q|<1 (rozwiazujesz ta nierownosc ) albo mozesz zapisac sobie to tak −1<q<1 i rozwiazujesz sobie ten uklad nierownosci (wyjdzie to samo )

	a1
4) S=
	1−q

podstawiasz swoje dane i dzialasz 5) potem rozwiazujesz rownanie S=x (pamietajac o warunkach) 6) I po bólu..

jadwigas: a dlaczego q = a2\a1= ¹_x−1 u mnie wyszło x−1

jadwigas: bo jak zrozumiałam to treba pozielić a2 przez a1,

	1
a2 to
	(x−1)2

jadwigas:

	1		1		1		(x−1)2		x−1
a2/a1 =		:		=		*		=		= x−1
	x−1		(x−1)2		x−1		1		1

jadwigas: jest tu ktoś?

jc: A co to jest a1 i a2?

	1
Szereg jest zbieżny o ile |		| <1.
	x−1

1		1		1
	+		+		+ ...
x−1		(x−1)2		(x−1)2

	1		1		1
=		*		=
	x−1		1−1/(x−1)		x−2

jc: Przy trzecim składniku zmień 2 na 3.

jadwigas: nie rozumiem (

	1
to q jest równe		?
	x−1

6latek: Czesc jc Nie czepiaj sie dziecka

6latek: Jawisiu dlaczego tak dzielisz jak w godz 10 : 27 Nawet w ciagu geometrycznym zeby obliczyc q dzielisz wyraz nastepny przez wyraz go poprzedzajacy

jadwigas: toż tak i zrobiłam , już mi się poplątało

6latek: Nie zrobilas tak niestety Powinno byc

1		1		1		(x−1		1
	:		=		*		=		=q
(x−1)2		x−1		(x−1)2		1		x−1

jadwigas: aaaaaa,

6latek: Teraz na to zeby ten szereg byl zbiezny (czyli mial granice ) musi byc spelniony warunek |q|<1 Rozwiaz teraz

	1
|		|<1
	x−1

jadwigas:

1		1
	<1 lub		>−1
x−1		x−1

1		1
	−1<0		+1>0
x−1		x−1

1−x+1		1+x−1
	<0		>0
x−1		x−1

−x+2		x
	<0		>0
x−1		x−1

jadwigas: tak?

6latek: W zwiazku z tym co napisal jc w poscie o 10 : 55 mam problem

1
	=a1 tutaj nie mam watpliwosci
x−1

	1
A czym bedzie		?
	(x−1)2

W ciagu jest a₁,a₂,a₃ ,a₄ itd tutaj wszystko jest jasne Natomiast w szeregu gdy jest dodawanie ? Pani nam nic nie powiedziala o tym

6latek: Mama mnie wola na obiad Zapomnialas o zalozeniu . Przy nierownosciah trzeba dac czyli x−1≠0 Musisz dokonczyc rozwiazywanie i dac potem czesc wspolna rozwiazan Masz nierownosci wymierne postaci

W(x)
	<, >0 ⇔gdy W(x)*P(x)<,>0 i P(x)≠0
P(x)

Dokoncz . Ja jade z rodzicami do miasta i wroce troche pozniej .Pewnie ktos CI pomoze

jadwigas: ja poczekam , nikt mi lepiej nie wyjaśni

wredulus_pospolitus: 6−latek −−−− każdy ciąg liczbowy jest szeregiem Jadwigas −−− oczywiście olałaś moje wypowiedzi (dlaczego?)

	1
1) a1 =
	x+1

	1
2) q =
	x+1

	1		1
3) |		| < 1 ⇔ −1 <		< 1 ⇔ x∊(−∞ ; −2) u (0 ; ∞)
	x+1		x+1

a1

1   x+1

1

x

1

x+1

4) S =

=

=

:

=

*

=

1−q

1   1 −   x+1

x+1

x+1

x+1

x

	1
=
	x

	1
5) rozwiązujesz:		= x w dziedzinie wyznaczonej w punkcie (3)
	x

jadwigas: u mnie w pkt 3) wyszło x∊(−∞,0)(1;∞) x≠1

jadwigas:

wredulus_pospolitus:

1
	nie ma sensu
−1 + 1

jadwigas:

	1
i q przecież jest równe
	x−1

6latek: Witaj wredulus

	1
czyli tutaj		to wyraz drugi tego szeregu ?
	(x+1)2

Teraz Jadwisiu do Ciebie . Niestety ale wredulus ma racje co prawda pomylil znak w mianowniku am byc x−1 Zle wyznaczona dziedzina w punkcie 3 u Ciebie 1 nierownosc

−x+2
	<0
x−1

Zamieniamy na postac wielomianowa bo znak ilorazu jest taki sam jak iloczynu (−x+2)(x−1)<0 Mijsca zerowe −x+2=0 −x=−2 x=2 x−1=0 x=1 ramiona paraboli skierowane w dol bo (−x)*x= −x² Nierownoc ta jest ostra i bedzie <0 dla x∊(−∞ 1)U(2,∞) Druga nierownosc

x
	>0 to x(x−1)>0
x−1

Miejsca zerowe x=0 x−1=0 x=1 ramiona paraboli w gore bo x*x=x² Nierownosc jest ostra wiec bedzie >0 dla x∊(−∞,0)U(1,∞) Rozwiazniem dla tych dwoch nierownosci jest x∊(−∞,0)U(2,∞) Rozwiazuj teraz

	a1
S=
	1−q

	1
a1=
	x−1

	1
q=
	x−1

podsatwiaj i licz

jc: Proponuję analizę starożytnych.

1
	=x
x−2

x²−2x−1=0 (x−1)²=2 x=1±√2

1		±1
	=
x−1		√2

W obu przypadkach mamy szereg zbieżny.

6latek: Policzylas ile wynosi suma tego szeregu geometrycznego po lewej stronie ?

jadwigas:

	1
tak, wyszło mi
	x−2

6latek: Tak tyle samo mi tez wyszlo Teraz rozwiaz rownaie S=x

	1
to		=x
	x−2

jadwigas:

1
	= x
x−2

1
	− x = 0
x−2

−x2−2x+1
	= 0
x−2

jadwigas: jak to dalej rozwiązać, tak jak nierówność? jak 11:59?

6latek: Skoro tak zaczynasz to oK Tylko dalej musisz rozwiazac Ale jeden problem Masz w mianowniku niewoadoma wiec albo na poczatek dziedzina albo piszesz ze rozwiazujesz metoda analizy starozytnych

jadwigas: D: R\{2}

6latek: Niestety nie tak rozwiazujesz Pytanie Kiedy iloraz jest rowny 0? mamy tak

a
	=0 To kiedy ten ulamek bedzie rowny 0?
b

Mianownik nie moze byc rowny 0 bo nie dzielenia przez 0 To kiedy ?

jadwigas: ale nie wiem jak dalej co z licznikiem, wyznaczć deltę?

jadwigas: x−2≠0 x≠2

6latek: No dobrze wyznaczysz delte a co z mianownikiem ? Zauwaz ze

a
	=0 gdy b≠0 wtedy i tylko wtedy gdy a=0
b

	0		0
bo np		=0		=0
	5		1765432980006543

Wiec tym sposobem co rozwiazujesz to musi licznik rownac sie 0 Wiec tylko licznik przyrownujesz do 0. wiec rozwiazujesz rownanie −x²−2x+1=0 ===========

jadwigas: tak, rozumiem, właśnie pytałam jak to równanie rozwiazać −x2−2x+1=0

6latek: Teraz tak Masz takie rownanie

1
	=x
x−2

Taka postac rownania to postac

a		c
	=		czyli proporcja i bi d≠0
b		d

Jka wiesz taka proporcje rozpisujesz tak a * d= b*c u nas a=1 b=x−2 c=x d=1

	x		5
bo x=		tak samo np 5=
	1		1

wiec piszemy 1*1= (x−2)*x 1= x²−2x ========= i dostajesz to samo czyli −x²+2x+1=0 Sprawdz u siebie z 16:01 jeszce raz

6latek: Normalnie masz rownanie kwadratowe wiec delta i x₁,x₂ jesli istnieja

jadwigas: Δ= 8 x1=√8 x2=−√8

6latek: No nie zalamuj mnie https://matematykaszkolna.pl/strona/54.html −x²+2x+1=0 delta dobrze

6latek: Δ=8 √Δ=√8= √4*2= √4*√2=2√2

	−b−√Δ		−2−2√2		−2(1+√2
x1=		=		=		= 1+p[2}
	2a		−2		−2

	−b+√Δ		−2+2√2		−2(1−√2
x2=		=		=		= 1−√2
	2a		−2		−2

jadwigas: dlaczego −2, jeżeli −b−√Δ , to B= −2, a −b= 2 więc x1= −2√2 x2= 2√2

jadwigas: przepraszam, już pewnie macie mnie dość

6latek: Przeciez masz wzory na wyznaczenie miejsc zerowych −x²+2x+1=0 wtedy a=−1 b=2 c=1 Teraz licz sama miejsca zerowe Ja je doprowadzilem do jak najprostszej postaci Pani w zerowce bedzie ze mnie dumna Patrz na link i licz

6latek: Zeby nie przedluzac Pokaz jak liczysz . Ja tez musze sie wziac za zbiory

jadwigas: co masz na myśli?, x1= −2√2 x2= 2√2 − to już są miejsca zerowe

jadwigas: jesteś w jakiejś zerówce?

6latek: To nie sa miejsca zerowe Ty sobie wyobrazasz ze −√Δ i +√Δ to sa miejsca zerowe Miejsca zerowe wyrazaja sie wzorami

	−b−√Δ
x1=
	2a

================ a takze

	−b+√Δ
x2=
	2a

===================== Masz rownanie −x²+2x+1 =0 delta policzylas ze Δ= 8 dobrze Teraz potrzebny ci √Δ to √8= tak jak napisalem 2√2 czyli √8= 2√2 to −√8= −2√2 masz tutaj tak w tym rownaniu a=−1 b=2 c=1 licze x₁ podsatwiam do wzoru na x₁ skoro b=2 to −b=−2

	−2−2√2		−2−2√2
x1=		=
	2*(−1)		−2

Albo tak to zostawiasz albo doprowadzasz do prostszej postaci Ja w liczniku wyciagnalem wspolny czynnik przed nawias Jesli tego nie umiesz to skorzystaj z prawa dzialania na liczbach rzeczywistych

a+b		a		b
	=		+		lub
c		c		c

a−b		a		b
	=		−
c		c		c

Masz tutaj tak

−2−2√2		−2		2√2
	=		−		= 1+√2 po skroceniu
−2		−2		−2

Dla ciebie zostawie polczenie x₂ Patrz na wzor podstawiaj i licz

6latek: Tu gdzie napisalem te prawa dzialania na liczbaczR to te a, b, c nie ma nic wspolnego z aa, b, c z rownaia kwadratowego

6latek: https://matematykaszkolna.pl/strona/1678.html klikasz na niebieski odnosniki i masz rozwiazanie zadania Musisz pocwiczyc . To podstawa .

jadwigas: x2= 1−√2

jadwigas: i to jest koniec zadania? ostateczna odpowiedź to − 1+√2 i 1−√2

6latek: No i gitara Teraz ide z mama na spacer bo juz chlodno sie zrobilo a Ty cwicz

6latek: Tak koniec ale jeszcze sprawdz czy rozwiaznia naleza do dziedziny czyli x∊(−∞,0)U(2,∞)

jadwigas: hurra dziękuję baaardzo

6latek: Na zdrowie

jadwigas: