Udowodnij, że wyrażenie dzieli się przez 6 Zygmunt: Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k³m−km³ jest podzielna przez 6. Umiem udowodnić, że liczba jest podzielna przez 2. Nie potrafię jednak uzasadnić tego, że da się ją podzielić przez 3. Znalazłem opis rozwiązania, niestety jednak nie wszystko z niego rozumiem: Dowód przeprowadzimy w czterech rozłącznych sytuacjach: A, B, C, D. A. Którakolwiek z liczb k, m jest podzielna przez 3. Wtedy iloczyn km(k²−m²) jest podzielny przez 3. [To akurat rozumiem.] B. Obie liczby przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1. Wtedy k−m jest podzielna przez 3 [skąd to wiadomo?], więc iloczyn km(k+m)(k−m) jest podzielny przez 3 [ten fragment już rozumiem, ale tylko jeśli wezmę ten wcześniejszy na wiarę]. C. Obie liczby przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2. Wtedy k−m jest podzielna przez 3 [nie wiem czemu], więc iloczyn km(k+m)(k−m) jest podzielny przez 3 [i tu na nowo wiem skąd to się wzięło] D. Jedna z liczb przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, a druga przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. Wtedy liczba k+m jest podzielna przez 3 [nie wiem czemu, tak samo jak wcześniej], więc iloczyn km(k+m)(k−m) jest podzielny przez 3 [tu już wiem, tak samo jak wcześniej]. Istnieje jeszcze metoda, która zastępuje punkty B, C i D. Brzmi tak: Żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 3. Wtedy kwadrat każdej z nich przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 [po czym mam poznać, że tak jest?], więc różnica k²−m² jest podzielna przez 3 [i tego, tak dla odmiany, też nie rozumiem xD] Bardzo proszę o pomoc.

6latek: https://matematykaszkolna.pl/strona/5164.html

wredulus_pospolitus: km(k²−m²) = km(k−m)(k+m) jeżeli k ≡ 0 (mod 3) lub m ≡ 0 (mod 3) to pozamiatane jeżeli k ≡ 1 (mod 3) i m ≡ 1 (mod 3) to (k−m) ≡ 0 (mod 3) jeżeli k ≡ 1 (mod 3) i m ≡ 2 (mod 3) to (k+m) ≡ 0 (mod 3) analogicznie dla k ≡ 2 (mod 3)

Zygmunt: Niestety nie rozumiem oznaczeń z drugiego komentarza, ale rozumiem to co jest w linku. Bardzo dziękuję Wam obu/obojgu.

ICSP: k³m−km³ = k³m − km − km³ + km = m(k³ − k) − k(m³ − m)

tars: mozesz tez zrobic to algebraicznie dzielisz na przypadki, np. k to liczba ktora po podzieleniu przez 3 daje resztę 1, a m reszte 2, no to wtedy k=3n+1 m=3h+2 k³m−km³=km(k²−m²)=km(k−m)(k+m) czyli : (3n+1)(3h+2)(3n+1−3h−2)(3n+1+3h+2)=(3n+1)(3h+2)(3n+3h+3)=(3n+1)(3h+2)3(n+h+1) czyli taki przypadek jest podzielny przez 3 podobnie bedzie wygladac rozpisywanie dla innych reszt, lacznie jest chyba 5 przypadkow, sporo roboty ale masz 100% pewnosc ze jest dobrze

HFC: Δπδ