Własności funkcji trygonometrycznych magda:

	1
Wiemy, że cosx + sinx =√3 . Wyznacz tgx +		.
	tgx

Mariusz:

sin(x)		cos(x)
	+
cos(x)		sin(x)

sin2(x)+cos2(x)
cos(x)sin(x)

1
cos(x)sin(x)

2
2cos(x)sin(x)

(cos(x)+sin(x))²=cos²(x)+sin²(x)+2cos(x)sin(x) (cos(x)+sin(x))²=1+2cos(x)sin(x) (cos(x)+sin(x))²−1=2cos(x)sin(x)

2		2
	=
2cos(x)sin(x)		(√3)2−1

2		2
	=
2cos(x)sin(x)		3−1

2		2
	=
2cos(x)sin(x)		2

2
	=1
2cos(x)sin(x)

Mariusz: ale 2sin(x)cos(x)=sin(2x) i dla argumentów rzeczywistych przyjmuje wartości od < −1 , 1> Może argument jest zespolony ?

Adamm: @Mariusz dobra uwaga x musi być liczbą zespoloną

Mariusz: cosx + sinx =√3

	1		1
√2(		cos(x)+		sin(x))=√3
	√2		√2

	π
√2cos(x−		)=√3
	4

	π		√3
cos(x−		)=
	4		√2

x należy do zespolonych ?

Adamm: W tym sensie, że zespoloną, ale nie rzeczywistą

Mariusz: W zespolonych funkcje trygonometryczne związane są z tzw hiperbolicusami

Adamm: @Mariusz chodzi ci zapewnie o to że np.

	eyi*i−e−yi*i
sin(yi) =		= isinh(y)
	2i

Mariusz:

e2ix−e−2ix
	=2
2i

e^2ix−e^−2ix=4i e^2ix=t

	1
t−		=4i
	t

t²−4it−1=0 Δ=−16−(−4)=−12

	4i±2√3i
t=
	2

t=(2+√3)i e^2ix=(2+√3)i 2ix=ln((2+√3)i)

	π
2ix=ln(2+√3)+		i
	2

ln(z)=ln|z|+Arg(z)i |z| moduł liczby zespolonej , długość promienia wodzącego , można obliczyć z tw Pitagorasa Arg(z) argument liczby zespolonej , miara kąta skierowanego między osią biegunową a promieniem wodzącym Tutaj trzeba poczynić założenie że za część urojoną bierzemy np argument główny w przeciwnym razie logarytm nie byłby funkcją

	π
2ix=ln(2+√3)+		i
	2

	1		π		1
−		i(2ix)=		−		ln(2+√3)i
	2		4		2

	π		1
x=		−		ln(2+√3)i
	4		2

Mariusz: Adam mniej więcej o to chodzilo Jak masz funkcje trygonometryczne to hiperbolicusy są przydatne do oddzielenia części rzeczywistej od części urojonej Eta usunęła swoje wpisy

Eta: "bawcie się" dalej ........

PW: Na poziomie licealisty: Założenie: (0) cosx+sinx=√3, skąd po pdniesieniu do kwadtaru cos²x+sin^x+2sinxcosx=3 (1) 2sinxcosx=2 Przekształcamy wyrażenie, którego wartość mamy obliczyć:

	1		2
(2) tgx+		=
	tgx		2sinxcosx

− to Mariusz pokazał. Podstawienie (1) do (2) daje

	1		2
(3) tgx+		=		= 1.
	tgx		2

Udowodniliśmy, że jeśli (0), to (3). I teraz jak to ocenić? Dowód jest poprawny, a że założenie fałszywe? Nie kazali badać prawdziwości założenia. Wątpię, żeby ogół licealistów zauważył to co Mariusz. Oby takiego zadania nie było na maturze!

Mariusz: PW ja dałem się na to złapać tylko po napisaniu coś mi nie pasowało i uzupełniłem to w następnym wpisie

PW: No dobrze, ale Ty jesteś matematykiem, a co ma zrobić licealista, który nie zetknął sie np. z zadaniem, że max(sinx+cosx)=√2 lub z wzorem

	π
sinx+cosx=√2sin(		+x)
	4

i nie skojarzy tego z fałszywością założenia? Najśmieszniej by było, gdyby Magda pomyliła się i miało być sinx + cosx = √2, a my tu tracimy czas.

PW: Zadania tego typu już się pojawiały na forum, np. 5 lat temu 245775

Mariusz: Nie wszystko byłoby stracone bo pokazałem obliczenia poza tym zwróciliśmy jej uwagę na to aby sprawdzać założenia

	1
Jeżeli cos(x)+sin(x)=√3 to tg(x)+		=1
	tg(x)

	π
ale cos(x)+sin(x)=√2cos(x−		)
	4

więc dla licealisty nie ma takiego x aby spełniało równanie cos(x)+sin(x)=√3 Wątpliwości co do wyniku mogą być też spowodowane tym co wcześniej napisała Eta Przyjmijmy że tg(x) > 0

	1
Jeśli tg(x) < 1 to		> 1
	tg(x)

	1
Jeśli tg(x) > 1 to		< 1
	tg(x)

	1
zatem tg(x) +		> 1
	tg(x)

	1
|tg(x)+		| ≥ 2
	tg(x)

Mariusz: PW w teorii to ja jestem programista a o matematyce wiem tylko tyle co programista powinien wiedzieć + to co sam doczytam W praktyce jednak kiepski ze mnie programista

Mila: To jak zarabiasz na swój dobrobyt?

b.: W zasadzie ewentualna fałszywość założenia w niczym nie przeszkadza: rozwiązanie z 20:58 pokazuje, że jeśli (0), to (3), i to wystarczy. Tak jak np. wiedząc, że 0=1, można pokazać, że 0=2

iteRacj@: Mila fantastyczne określenie! Jest w nim zapisany sukces. "Zarabiać na życie" to przy nim jak ponura zapowiedź niekończącej się orki. Jutro rano pójdę zarabiać na dobrobyt : )

iteRacj@: * na swój dobrobyt, żeby było jasne