Szukam twierdzenia dot. pierwiastków wielomianów. Krzysztof: Witam. Jednym z rozwiązań równania 3x3 + ax2 + bx + 12=0, gdzie a,b ∊ C, jest liczba 1+√3. Znajdź a i b Schematycznym rozwiązaniem doszedłem do wyniku a=−12 b=6. Natknąłem się również na sposób taki: jezeli jednym z pierwiastków jest liczba 1 +√3 to drugim pierwiastkiem jest liczba : 1 −√3 3( x −1 −√3)( x −1 +√3)( x −p)=0 , p trzeci pierwiastek x3−3(p+2)x2 +6( p−1) +6p=0 to: 6p= 12 => p=2 zatem a= −3(p+2)= ..... = −12 b= 6( p−1) = ...... = 6 Na początku wrzuciłem sobie na szybko w aplikację to równanie 3x3 + ax2 + bx + 12=0 podstawiając za a i b rozwiązania i dostałem, że rzeczywiście pierwiastki m.in to 1+√3 oraz 1−√3. Moje pytanie brzmi tak: Czy na etapie treści zadania jestem w stanie udowodnić, że 1−√3 to również pierwiastek tego wielomianu?

zys: do bani te wyliczenia

PW: Nie ma twierdzenia, że jeżeli 1+√3 jest pierwiastkiem wielomianu, to również 1−√3 jest pierwiastkiem. Wstarczy wziąć wielomian, którego jedynym pierwiastkiem jest (1+√3). Skonstruować taki wielomian trzeciego stopnia można bez kłopotu: W(x) = (x−1−√3)(ax²+bx+c), gdzie wyróżnik Δ trójmianu jest ujemny. (1+√3 jest pierwiastkiem, a żadnego innego nie ma.

ICSP: PW jest takie twierdzenie. x₁ = 1 + √3 x₂ = 1 − √3 (x − x₁)(x − x₂) = (x² − 2x + 1) − 3 = x² − 2x − 2 W(x) = (x² − 2x − 2)Q(x) + ax + b W(x₁) = ax₁ + b = 0 ⇒ a = b = 0 Stąd W(x₂) = 0

PW: Żartujesz sobie.

ICSP: Nie

PW: Krzysztof twierdził: Natknąłem się również na sposób taki: jezeli jednym z pierwiastków jest liczba 1 +√3 to drugim pierwiastkiem jest liczba : 1 −√3. Na pewno mówisz o tym samym?

ICSP: Jeżeli mam wielomian o współczynnikach całkowitych to tak.

PW: Mały drobiazg, ale jakże istotny. W swoim dowodzie pisząc ax₁+b = 0 ⇒ a = b = 0 "prześlizgujesz się" nad tym założeniem Swoją drogą też się czegoś nauczyłem, dziekuję.

ICSP:

Krzysztof: Szanowni Państwo, tez dla mnie był to absurd tylko ze na takie rozwiązanie owego zadania trafiłem na tym forum właśnie.

wredulus_pospolitus: Krzysztof a gdzie dokładnie takie rozwiązanie znalazłeś? Możliwe że to było równanie w zbiorze liczb zespolonych a jednym z rozwiązań było z = 1 + i√3

wredulus_pospolitus: Bo tak naprawdę to jest jedyna sytuacja w którą mogę sobie wyobrazić, aby ktoś tutaj (ze stałych bywalców) mógł napisać, że skoro jeden pierwiastek znamy to drugim NA PEWNO będzie ... i podaje pierwiastek

Krzysztof: @up https://matematykaszkolna.pl/forum/75179.html

wredulus_pospolitus: Szczerze ... nie wiem czemu Eta napisała to tak bez wyjaśnienia. Rozumiem w jaki sposób można by było dojść do tego stwierdzenia, ale wcześniej (zanim byśmy

	√3−1
wykazali, że to faktycznie będzie (1−√3) a nie na przykład		a trzecim
	2

	√3−1
		bądź jakiś inny zestaw dwóch niewymiernych pierwiastków, doszłoby się do tego ile
	2

wynosi współczynnik 'b' A wtedy wystarczy podstawić znany nam pierwiastek i wyliczymy współczynnik 'a'. Tak więc − nie wiem w jaki sposób Eta to by uargumentowała. Chyba trzeba poczekać aż się wypowie w tej kwestii.

ABC: Można sposobem "for dummies" podstawiając x=1+√3 dochodzimy do postaci (42+4a+b)+(18+2a+b)√3=0 i jeżeli a,b całkowite to wyrażenia w nawiasach muszą się zerować z uwagi na niewymierność √3, czyli a=−12, b=6 nie jest to takie długie wcale

jc: P=rozpatrywany wielomian Q=(x−1)²−3 Załóżmy, że P nie dzieli W. NWD(P(x),Q(x))=sx+t=k(x)P(x)+m(x)Q(x) s, t − liczby wymierne podstawiamy 1+√3 s(1+√3)+t=0 wniosek: s=t=0, czyli Q dzieli P, co oznacza, że 1−√3 też jest pierwiastkiem P