równanie wielomianowe Łukasz: Jednym z rozwiązań równania 3x³ + ax² + bx + 12=0, gdzie a,b ∊ C, jest liczba 1+√3. Znajdź a i b. Poziom 2 klasa liceum(poziom rozszerzony).

Basia: 3(1+√3)³+a(1+√3)²+b(1+√3)+12=0 licz, coś powinno z tego wyjść

Grześ: zauważ, że a oraz b musi być podzielne przez 3 Taka dodatkowa uwaga

Łukasz: (4+2√3)a+(1+√3)b=−42−18√3 czyli mam dwie niewiadome i jedno równanie. Co robić?

Grześ: jedyna spełniająca ara podzielnośc przez 3 jest: (a,b): {(3,4),(4,3),(−3,−4),(−4,−3)} Sprawdź te pary, która spełnia to równanie

Grześ: para*

Grześ: haha i jeszcze sie pomyliłem, chwilka, poprawię, bo to nie ma sensu co napisałęm, będzie więcej par do sprawdzenia, więc tym tokiem raczej nic sie nie zrobi

Łukasz: odpowiedzi już mam: a=−12 oraz b=6. Pytanie tylko jak do tego dojść?

Basia: albo dalej jak liczył Łukasz 4a + 2√3a+b+√3b= −42−18√3 (4a+b)+ √3*(2a+b)= −42−18√3 stąd 4a+b= −42 2a+b = −18

Grześ: AA... nie zauważyłem tego, bo przecież muszą być całkowite... teraz Łukasz poradzisz sobie ;>

Łukasz: Dzięki. Basia, jesteś niesamowita. Może uda mi się zaliczyć wielomiany na coś porządnego Jeszcze raz dzięki

Eta: 2/ sposób: jezeli jednym z pierwiastków jest liczba 1 +√3 to drugim pierwiastkiem jest liczba : 1 −√3 i mamy: 3( x −1 −√3)( x −1 +√3)( x −p)=0 , p trzeci pierwiastek po wymnożeniu i uporzadkowaniu otrzymujesz: 3x³−3(p+2)x² +6( p−1) +6p=0 to: 6p= 12 => p=2 zatem a= −3(p+2)= ..... = −12 b= 6( p−1) = ...... = 6 sprawdzenie: 3x^^3 − 12x² +6x +12=0 ( x −2)(x²−2x −2)=0 x₁= 2 v x₂= 1 +√3 v x₃= 1 −√3

olll: niech ktos wstawi pelne rozwiazanie

Mariusz: Ktoś może wytłumaczyć czemu drugim pierwiastkiem jest 1−√3?

Jędrzej: Bo wtedy wspolczynniki a, b należą do zbioru liczb całkowitych (warunek zadania)