Mariusz:
Można tak przyjąć ponieważ trójmian kwadratowy można
przedstawić w postaci iloczynowej zapisując go najpierw w postaci kanonicznej
Wielomian czwartego stopnia też można rozkładać w gruncie rzeczy w ten sam sposób
tyle że tam korzystasz jeszcze z tego że trójmian kwadratowy jest kwadratowy
jest kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik jest równy zero
Schemacik obliczania takich całek
Jeżeli deg L(x) ≥ deg M(x)
podziel licznik i mianownik co pozwoli przedstawić całkę w postaci
| | L(x) | | R(x) | |
∫ |
| dx=∫W(x)dx+∫ |
| dx |
| | M(x) | | M(x) | |
M(x) ma pierwiastki wielokrotne (rzeczywiste bądź zespolone)
| | R(x) | | R1(x) | | R2(x) | |
∫ |
| dx= |
| +∫ |
| dx |
| | M(x) | | M1(x) | | M2(x) | |
gdzie
M
1(x)=NWD(M(x),M'(x))
M(x)=M
1(x)M
2(x)
Przyjmując że
deg R
1(x) < deg M
1(x)
deg R
2(x) < deg M
2(x)
liczniki znajdujesz stosując współczynniki nieoznaczone
W tym celu przyjmujesz za współczynniki wielomianów współczynniki literowe
i różniczkujesz obustronnie równość
| | R(x) | | R1(x) | | R2(x) | |
∫ |
| dx= |
| +∫ |
| dx |
| | M(x) | | M1(x) | | M2(x) | |
| | R2(x) | |
Mianownik funkcji podcałkowej całki ∫ |
| dx |
| | M2(x) | |
powinien mieć już tylko pierwiastki jednokrotne
Przyjmujemy że rozkład mianownika wygląda następująco
M
2(x)=(x−a
1)(x−a
2)*...*(x−a
k)
(x
2+p
1x+q
1)(x
2+p
2x+q
2)*...*(x
2+p
mx+q
m)
przedstawiasz w postaci sumy całek
| | A1 | | A2 | | Ak | |
∫ |
| dx+∫ |
| dx+...+∫ |
| dx |
| | x−a1 | | x−a2 | | x−ak | |
| | B2x+C2 | | Bmx+Cm | |
∫ |
| dx+...+∫ |
| dx |
| | x2+p2x+q2 | | x2+pmx+qm | |
przy czym trójmiany kwadratowe w mianownikach nie mają pierwiastków rzeczywistych
