Problemy z funkcją, pochodna Alicja: Funkcja f : R → R , ma wzór f(x) = ³√(x−3)(6−x)² Wyznaczyć przedziały, w których f jest rosnąca oraz przedziały w ktorych f jest malejąca Wydaje mi się że powinnam wyznaczyć dziedzinę, chyba (3, +∞) Ale co dalej? Zaczęłam liczyć pochodną : Skorzystałam ze wzoru, i wyszło mi coś takiego:

1
3√(x−3)(6−x)2

Przekształciłam to i wygląda ostatecznie to tak:

1		1
	=
3√(x−3) √(6−x)2		3√(x−3) (6−x)

I się zatrzymałam, ktoś poprawi może, powie co źle albo rozwiąże troche dalej i napisze jak to się robi? Byłabym wdzięczna

iteRacj@: Dlaczego uważasz, że dziedziną jest przedział (3, +∞) ? Podstaw x=0 do wzoru funkcji.

PW: Ale uparta. https://matematykaszkolna.pl/forum/385812.html

iteRacj@: Pochodna tej funkcji również źle policzona, trzeba zasosować wzór na pochodną funkcji złożonej.

Adamm: dziedziną jest cała prosta, tak jak jest w zadaniu f: R → R oznacza że pod f wstawiamy punkt z R, i wychodzi nam coś z R gdyby dla pewnego punktu x z R, f(x) nie było określone, to wtedy mielibyśmy błąd w zadaniu f³ tak samo się zachowuje jak f czyli wystarczy zbadać monotoniczność funkcji (x−3)(x−6)² ((x−3)(x−6)²)' = (x−6)²+2(x−3)(x−6) = 3(x−6)(x−4) <0 gdy x∊(4, 6) >0 gdy x∊R\[4, 6]

iteRacj@: Czyli nic od północy się nie zmieniło.

jc: funkcja x→³√x jest ściśle rosnąca. Dlatego wystarczy badać prostszą funkcję, a mianowicie funkcję x→(x−3)(x−6)². albo jeszcze prostszą: x→(x+3)x²= x³+3x². Teraz można liczyć pochodną. 3x²+6x=3x(x+2). Daje nam to 3 przedziały rozdzielone liczbami −2 i 0. Wracając do oryginału mamy przedziały rozdzielone liczbami 4, 6. Funkcja w tych przedziałach odpowiednio rośnie, maleje, rośnie. W punkcie 4 mamy maksimum lokalne, a w punkcie 6 minimum lokalne.