∫(1+tgx)/cosx dx Jabur: ∫(1+tgx)/cosx dx

poaw: podstaw t = tg ^x₂

poaw: Wróć... tg zapisz jako sinx/cosx , na górze sprowadz do wspolnego mianownika − dalej poradzisz

poaw: Dobra pogubiłem się sam − zapomnij co pisałem

jc:

	1		1+sin x
= ∫(1/cos x + sin x) dx =		ln		− cos x
	2		1−sin x

grzest: @jc

1+tg x		1
	≠		+sin x.
cos x		cos x

Mam rację?

grzest: No wiem, że to zwykła pomyłka. Druga całka powinna być:

	sin x		dt		1		1
∫		dx = −∫		=		=		+C.
	cos2x		t2		t		cos x

Całość:

	1		1+sin x		1
∫(1+tgx)/cosx dx =		ln		+		+C.
	2		1−sin x		cos x

jc:

Jabur: @grzest ale nwm skad 1/cos wychodzi ten logarytm, mozesz to jakos wyjasnic?

Jabur: @grzest 1/cos²x

grzest:

	1
Prawdopodobnie chodzi Ci o całkę z		, którą obliczał jc. Zastosuj podstawienie
	cos x

uniwersalne t= tg x/2.

Mariusz:

	1
Jeśli chodzi o całkę ∫		dx
	cos(x)

to z wyniku jaki podał jc można wywnioskować że była liczona w ten sposób

	1		cos(x)		cos(x)
∫		dx=∫		dx=∫		dx
	cos(x)		cos2(x)		1−sin2(x)

t=sin(x) dt=cos(x)dx

	1
∫		dt
	1−t2

Jeśli chodzi o tzw podstawienie uniwersalne to chyba lepiej cosinusa zamienić na sinusa ze wzorów redukcyjnych i zastosować to podstawienie dla nieco przesuniętego argumentu tangensa Ci którzy używali podstawień Eulera powinni wymyślić pasujące podstawienie cos(x)=(1−sin(x))t i dalej tak jak w trzecim podstawieniu Eulera (tym z pierwiastkami)

grzest: @Mariusz Matematyka ma to do siebie, że tych samych wyników można dochodzić wielu różnymi drogami.

	x
Dlatego twierdzę, że podstawienie uniwersalne t=tg		jest równie dobre (jeśli nie lepsze)
	2

niż Twoja propozycja. Zwłaszcza, że wzory na sin x, cos x oraz dx są znane i szeroko rozpropagowane. https://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82kowanie_przez_podstawienie Wracając do meritum sprawy, przy podstawieniu uniwersalnym równie szybko dochodzimy do całki identycznej jak Twoja:

	dx		2(1+t2)		dt
∫		= ∫		= 2∫		.
	cos x		(1−t2)(1+t2)		1−t2

	x
t = tg		,
	2

	2dt
dx =		,
	1+t2

	1−t2
cos x =		.
	1+t2

Wynik całkowania będzie nieco inny, zależny od połowy kąta. Ale przejście od kątów połówkowych do kątów całkowitych nie powinno być problemem dla średnio zaawansowanego studenta. Rozwiązując omawianą całkę łatwo dojdziemy do wzoru:

	dx		sin x/2 + cos x/2
∫		= ln		+ C.
	cos x		sin x/2 − cos x/2

Wykorzystując wzory podane na stronie https://matematykaszkolna.pl/strona/3670.html równie łatwo dojdziemy do wzoru podanego przez jc:

	dx		1		1+sin x
∫		=		ln		.
	cos x		2		1− sin x

Ponadto, jeśli znasz podstawienia lepsze niż podstawienia Eulera to je publikuj, choćby w internecie. Biadolenie aby ktoś inny wymyślił potrzebne według Ciebie podstawienie nie ma sensu. Sam bierz się do pracy.

jc: Mariusz, nic nie liczyłem, po prostu kiedyś na forum ktoś spytał o pochodną funkcji

	1+sin x
ln [		]1/2.
	1−sin x

Mariusz: Jeśli już stosować to tzw podstawienie uniwersalne to lepiej cosinusa zamienić na sinus

	π		π		π
sin(		+x)=sin(		)cos(x)+cos(		)sin(x)
	2		2		2

	π
sin(		+x)=cos(x)
	2

	dx
∫		=
	π   sin( +x)   2

	dx
∫		=
	π   x   π   x   2sin( + )cos( + )   4   2   4   2

	dx
∫
	π   x   π   x   2tan( + )cos2( + )   4   2   4   2

Jak widać w tej całce lepiej argument tego tangensa trochę przesunąć

Mariusz: grzest ty nie umiesz czytać czy tylko udajesz ?