równanie trygonometryczne max pejn:

	x		x
sin(		) + cos(		) = √2sinx
	2		2

Wydaje się proste ale nie mogę go rozwalić. Próbowałem z sinusem podwojonego kąta dla prawej strony, zamieniać sinus na cosinus, zamieniać 2√2 na wynik funkcji tryg. ale nic sensownego nie wychodziło. Dzięki za pomoc.

iteRacj@:

	√2
sin(x/2) + cos(x/2) = √2sin(x) || *
	2

	√2		√2
sin(x/2)*		+ cos(x/2)*		= sin(x)
	2		2

sin(x/2)*cos(π/4) + cos(x/2)*sin(π/4) = sin(x) || wzór na sinus sumy kątów sin(x/2+π/4) = sin(x)

Mariusz:

	x		1		x		1
sin(		)		+cos(		)		=sinx
	2		√2		2		√2

	π		x
sin(		+		)=sinx
	4		2

	π		x
sin(		+		)−sinx=0
	4		2

	π		x
sin(		+		)+sin(−x)=0
	4		2

	π		x		π		3x
2sin(		−		)cos(		+		)=0
	8		4		8		4

PW: Przekształćmy lewą stronę:

	x		x		x		π		x
sin(		)+cos(		)=sin(		)+sin(		+		)=
	2		2		2		2		2

	x   π   x   ( + + )   2   2   2		x   π   x   ( − − )   2   2   2
=2sin		cos		=
	2		2

x

π

π

√2

x

π

= 2sin(

+

)cos(−

)=2(

)sin(

+

)=

2

4

4

2

2

4

	x		π
=√2sin(		+		),
	2		4

Mamy zatem równanie:

	x		π
√2sin(		+		)=√2sinx
	2		4

	x		π
sin(		+		)=sinx
	2		4

Doszedłem do tego samego co szanowna poprzedniczka, ale chyba większym trudem

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/3670.html trzeci wzór

max pejn: Dzięki wielkie

PW: Nie wiem czy ten wzór jest w karcie wzorów dla naturzystów. Jeżeli nawet jest, to warto znać wyprowadzenie (pocieszam się, że nie pisałem na darmo).

Eta:

Mariusz: Jakie wyprowadzenie ? Wzór na sinus i cosinus sumy można uzasadnić geometrycznie Jakoś tego nie widzę Dodatkowo przydatna będzie parzystość cosinusa i nieparzystość sinusa Następnie nie bawiłeś się tymi wzorami na sinus bądź cosinus sumy sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β) sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β) sin(α+β)+sin(α−β)=2sin(α)cos(β) cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β) cos(α−β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β) cos(α−β)+cos(α+β)=2cos(α)cos(β) cos(α−β)−cos(α+β)=2sin(α)sin(β) sin(α+β)+sin(α−β)=2sin(α)cos(β) α + β = x α − β = y 2α=x+y 2β=x−y zatem mamy

	x+y		x−y
sin(x)+sin(y)=2sin(		)cos(		)
	2		2

Z wzorów redukcyjnych wiemy także że

	π		π
cos(x)=sin(		−x)=sin(π−(		−x))
	2		2

	π		π
cos(x)=sin(		−x)=sin(		+x)
	2		2

Co wyprowadziłeś ?

Mila: Mariusz , sposób Iteracji jest prościutki, skąd tak dużo czasu weźmie maturzysta na klasówce wg Twojej propozycji? Na maturze może skorzystać z wzoru, który podała Eta , wzory ze sposobu PW na ogół uczniowie pamiętają.