Rozwiąż układ równań
123: Rozwiąż układ równań
x+y+z=0
x
2+y
2+z
2=26
x
3+y
3+z
3=36
Podobno jest 6 rozwiązań proszę o pomoc
26 lis 17:56
321: POMOCY
!
26 lis 18:09
ABC: mieliście wielomiany symetryczne?
26 lis 18:11
456: Nie
26 lis 18:12
321: nie
26 lis 18:12
ABC: na piechotę też się da policzyć
ale lepiej wykorzystywać tożsamości typu:
(x+y+z)
2−(x
2+y
2+z
2)=2(xy+yz+xz)
26 lis 18:22
ICSP: Wystarczy rozwiązać równanie :
z3 − 13z − 12 = 0
i zauważyć, że jego pierwiastki będą spełniać ten układ równań.
Reszta to zapisanie wszystkich 3! permutacji.
26 lis 18:27
jc:
f(t)=(t−x)(t−y)(t−y)=t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz
0=f(x)+f(y)+f(z)=36−3xyz, czyli xyz = 12
−26=(x+y+z)2−(x2+y2+z2)=2(xy+zy+zx), a więc xy+zy+zx=−13
f(t)=t3−13t−12
Pierwiastki = −3,1,4
Każda permutacja tego zbioru jest rozwiązaniem.
26 lis 18:27
456: A tak prościej bo jestem w 2 klasie liceum i nie miałam jeszcze tego:(
26 lis 18:33
ABC: jc mała poprawka pierwiastki −3,−1,4
26 lis 18:42
Mariusz:
Funkcje symetryczne byłyby przydatne i sprowadziłyby ten układ równań
do równania trzeciego stopnia
26 lis 19:23
Mariusz:
ABC byłeś szybszy z tym pomysłem na rozwiązanie
26 lis 19:26
Jestemtepa : Tak to prawda ale co w sytuacji kiedy nie wiem co to funkcje symetryczne? Czy da sie inaczej?
26 lis 19:39
Mila:
Czy nie miałeś polecenia, że należy rozwiązać w zbiorze liczb całkowitych?
Wtedy jest prościej.
26 lis 20:10
jc: Bez słowa o wielomianach symetrycznych to po prostu jeszcze jedno zadanie, które można
rozwiązać, tylko po co.
26 lis 20:50
123: Nie, tylko takie jest polecenie, żadnego zbioru
27 lis 08:51
jc: Inna propozycja.
Do II i III równania podstawiasz z=−x−y. Otrzymasz
x2+y2+xy=13
xy(x+y)=−12
Dalej
z2=(x+y)2=x2+y2+2xy=13+xy czyli xy=z2−13.
12=−xy(x+y)=(z2−13)z
co po uporządkowaniu daje
z3−13z−12=0.
Jeden z pierwiastków jest łatwy do odgadnięcia: z=−1.
z3−13z−12=(z+1)(z2−z−12).
Dwa kolejne to z=−3 i z=4.
. . .
Jednak na prawdę warto zwrócić uwagę na wielomiany symetryczne.
27 lis 09:29
Mila:
Nie pisałam wczoraj swojej propozycji, bo jc stwierdził, że warto 20:50.
Jeżeli :
x+y+z=0 to x3+y3+z3=3xyz
zatem: 3xyz=36
======
(*) xyz=12
x+y=−z
(x+y+z)2=0
x2+y2+z2+2(xy+xz+yz)=0
26+2*(xy+z*(x+y) )=0⇔xy+z*(−z)=−13
−−−−−−−−−−−−−
xy=z2−13 podstawiamy do (*)
(z2−13)*z=12
z2−13z−12=0 rozwiązujemy korzystając z tw.Bezou
z∊{−1,−3,4}
27 lis 16:57
Mila:
z3−13z−12=0
27 lis 17:01
ABC: To ja jeszcze przydatną tożsamość wyprowadzę (mam nadzieję że poprawnie)
x
3+y
3+z
3−3xyz = x
3+y
3+3x
2y+3xy
2+z
3−3xyz−3x
2y−3xy
2 = (x+y)
3+z
3−3xy(x+y+z) =
(x+y+z)((x+y)
2+z
2−(x+y)z)−3xy(x+y+z ) = (x+y+z)(x
2+2xy+y
2+z
2−xy−xz−3xy) =
(x+y+z)(x
2+y
2+z
2−xy−yz−zx)
tak można np. uzasadnić to co Mila napisała na początku
27 lis 17:22
ICSP: To ja też wyprowadzę. Definiujemy wielomian o pierwiastkach a,b,c :
w(x) = (x−a)(x−b)(x−c) = x3 − (a+b+c)x2 + (ab + ac + bc)x − abc
Wiemy, że W(a) = W(b) = W(c) = 0, więc
a3 − (a+b+c)a2 + (ab + ac + bc)a − abc = 0
b3 − (a+b+c)b2 + (ab + ac + bc)b − abc = 0
c3 − (a+b+c)c2 + (ab + ac + bc)c − abc = 0
Dodając stronami.
a3 + b3 + c3 − (a+b+c)[a2 + b2 + c2] + (a + b + c)[ab + ac + bc] − 3abc = 0
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+b+c)[a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc]
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+b+c)( [a+b+c]2 − 3(ab + ac + bc) ]
27 lis 17:29
ABC: ICSP no ale elementarnie miało być dla ucznia teraz
27 lis 17:35
Mila:
Witajcie
Ja tak:
x+y+z=0⇔x+y=−z /
3
x
3+3x
2y+3xy
2+y
3=−z
3
x
3+y
3+z
3+3xy*(x+y)=0
x
3+y
3+z
3+3xy*(−z)=0
x3+y3+z3=3xyz
===================
27 lis 17:55
PW: Też elementarnie:
Prawdziwy dla wszystkich x, y, z∊R jest wzór, który warto znać:
(x+y+z)3=x3+y3+z3+3(x+y)(y+z)(x+z)
(kto nie wierzy niech liczy). Dlatego, gdy x+y+z=0, mamy
0 = x3+y3+z3+3(−z)(−x)(−y)
x3+y3+z3 = 3xyz
28 lis 18:57
Mila:
Piękny wzór
28 lis 20:36
28 lis 22:06