Prawdopodobieństwo Ania: Ze skończonego ciągu arytmetycznego a1, a2, · · · , an o nieze− rowej różnicy wylosowano trzy różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że te liczby w wylosowanej kolejności utworzą ciąg arytmetyczny.

Blee: losujemy dowolną liczbę (n sposobów) losujemy dowolną liczbę (n−1 sposobów) losujemy 1 dokładnie liczbę (tak aby to być ciąg arytmetyczny) − 1 sposób

	1
P(A) =
	n−2

Blee: to jest teoretycznie −−− tak naprawdę prawdopodobieństwo będzie mniejsze i z pewnością zadający to zadanie nie zwrócił na to uwagi

Jerzy: Raczej nie tak. Weźmy np. ciąg: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 |Ω| = 6*5*4 A = (1,2,3) (2,3,4) (3,4,5) (4,5,6) (1,3,5)(2,4,6)

	6		1
P(A) =		=
	6*5*4		20

Blee: dlatego o 11:43 wybór drugiej liczby jest zależy od pierwszej

Blee: ja bym to rozbijał na 4 przypadki ... cholernie dużo roboty może jakiś wzór można by było zastosować, ale nie widzę go na chwilę obecną

Blee: te co wypisałeś to nie są wszystkie ... w odwrotnej kolejności także mogą być

Jerzy: Jedno jest pewne. Za kazdym razem musimy losować albo trzy kolejne liczby, albo liczby "jednakowo odległe" od pierwszej wylosowanej , np: 1 , 3 , 5 , 7 .... )

Jerzy: Trafna uwaga 11:56

Blee: dla n = 7 będą 123 135 147 234 246 345 357 456 567 i analogiczne malejące ciągi

	2*9		3
P(A) =		=
	7*6*5		35

Blee: n=8 123 135 147 234 246 258 345 357 456 468 567 678

	2*12		1
P(A) =		=
	8*7*6		14

n = 9 123 135 147 159 234 246 258 345 357 369 456 468 567 579 678 789

	2*16		4
P(A) =		=
	9*8*7		9*7

Więc:

	⎧	1/(2(n−1)) ; dla n = 2k ; k∊C
P(A) =	⎩	(n−1)/(2*n*(n−2) ; dla n = 2k+1 ; k∊C

I teraz wypadałoby to jeszcze udowodnić (o ile to prawda)

Ania: A jak mam 4 różne przypadki i oblicze prawdopodobieństwo dla każdego z nich, to wtedy jak dalej? Dodaje, mnożę czy jakieś specjalne wzory?

Jerzy: A o jakich 4 przypadkach mowisz ?

Jerzy: To co napisaliśmy powyżej, to tylko przykłady.

Blee: chciałem (bez rozpisywania dla małych 'n' ) to zrobić i: a) n = 2k ; x (pierwsza liczba) = 2j b) n = 2k ; x (pierwsza liczba) = 2j+1 c) n = 2k+1 ; x (pierwsza liczba) = 2j d) n = 2k+1 ; x (pierwsza liczba) = 2j+1 ale po rozpisaniu tych początkowych 'n' takie oto wzory zauważyłem i myślę, że spokojnie poprzez indukcję matematyczną dałoby się to wykazać

Blee: o ile oczywiście jest to prawda

Ania: A jak mam 4 różne przypadki i oblicze prawdopodobieństwo dla każdego z nich, to wtedy jak dalej? Dodaje, mnożę czy jakieś specjalne wzory?

Blee: to wtedy suma każdego przypadku Skąd ma takie zadanie? Na jakim poziomie nauczania jesteś ?

Jerzy: O jakich 4 przypadkach ty mówisz ?

Blee: patrz: 12:12

Blee: wykazuję odpowiedź z 12:08 Niech n = 2k+1 ; k≥1

	(n−1)2
#A =
	2

I) n = 3 {123} ; {321} <−−− 2 sztuki

	22
2 =
	2

II) n = m

	(m−1)2
#Am =
	2

III) n = m+2

	(m−1)2		(m − 1)2 + 4m		(m+1)2
#Am+2 = #Am + 2*[(m+2) − 2] =		+ 2*m =		=
	2		2		2

c.n.w. Niech n = 2k ; k≥2

	n*(n−2)
#A =
	2

I) n = 4 {123} ; {234} ; {432} ; {321}

	4*2
4 =
	2

II) n = m

	m(m−2)
#Am =
	2

III) n = m+2

	m(m−2)		m(m−2) + 4m		m*(m+2)
#Am+2 = #Am + 2*[(m+2) − 2] =		+ 2m =		=
	2		2		2

c.n.w.

Ania: Blee 1 liceum

Jerzy: Na waszym miejscu poprosiłbym nauczyciela o pokazanie jak rozwiązać to zadanie.

Ania: I chodzi mi o sytuację, w której ciąg jest rosnący i wtedy b−a>an−b wtedy nie da się znaleźć w ten sposób 3 liczby wie. P=0 no i analogicznie dla malejąco

Ania: Jerzy nie ma takiej opcji xd

Jerzy: A to niby dlaczego ? Jeśli nikt w klasie nie potrafi rozwiazać ( tak podejrzewam), to nauczyciel powinien wam pokazać.Czy to zadanie jest z jakiejś książki ?

Ania: I Blee mógłbyś jaśniej to co napisałeś o 12:44? Nic nie rozumiem...

Ania: Jerzy, zostało nam ono podyktowane tylko nie wiem czy z jakiegoś zbioru faktycznie czy wymyślone

Bleee: Skoro jesteś w 1 klasie liceum to: A) albo jest to zadanie konkursowe (jak dla mnie to ponad poziom liceum), B) albo bardzo poważnie pomylił się nauczyciel wymyślają to zadanie. PS. W 1 klasie liceum jest teraz prawdopodobieństwo

Ania: Na poziomie podstawowym, jak najbardziej xd

Kacpii: Ania na podstawie enie ma prawdopodobieństwa dopiero na rozszerzeniu w 2 lub 3 lo. Co nie zmienia faktu że nie wygląda mi to na żądanie konkursowe ale faktycznie wykracza poza poziom liceum

Kacpii: *zadanie

Bleee: To te zadanie bynajmniej z poziomu podstawowego nie jest. To tym bardziej coś czuję że chodzilo mu (nauczycielowi) o wynik jaki dałem pierwotnie, ale jest on daleki od prawdy

Ania: Czemu jest daleki od prawdy? I skoro tak to kurcze, mógłby ktoś z komentarzami mi to rozpisać tak jak ma być...

Bleee: Cholera... Wpadłem na to jak to BANALNIE rozwiązać. Ale to proste (teraz) jest

Ania: Tto mogę prosić o podzielenie się rozwiązaniem? Xd

Ania: Tylko troszkę jaśniej niż wcześniejsze

Bleee: Wracamy do 12:12 i rozpatrujemy de facto 4 przypadki. Zauważamy, że czy wyrazy będą tworzyć ciąg arytmetyczny jeżeli suna indeksow pierwszego i ostatniego jest liczba parzyste (np. a₁ a₈ a₁₅ czy też a₂ a₈ a₁₈) 1) n jest liczba parzyste i pierwsza liczba a_i została wylosowana tak że i jest parzyste, wtedy:

	n		n−2
Moc A =		*1*
	2		2

Bo mamy dokładnie n/2 liczb o indeksach parzystych, więc ostatnia też MUSI być o indeksie parzystym których (po wybraniu pierwszej) jest dokładnie o jeden mniej ( n/2 − 1 = (n−2)/2) 2) n jest parzyste i pierwsza liczba jest o indeksie nieparzystym

	n		n−2
Moc B =		*1*
	2		2

Bo mamy dokładnie n/2 indeksów nieparzystych, więc ostatnia cyfra też musi być o indeksie nieparzystym których jest o jeden mniej więc (n−2)/2 3) n jest liczba nieparzysta i pierwsza liczba jest o indeksie parzystym

	n−1		n−3
Moc C =		*1*
	2		2

Bo mamy dokładnie (n−1)/2 indeksów parzystych dla pierwszej liczby i o jeden mniej dla trzeciej 4) n jest liczba nieparzysta i pierwsza liczba jest o indeksie nieparzystym

	n+1		n−1
Moc D =		*1*
	2		2

Bo mamy dokładnie (n+1)/2 indeksów nieparzystych dla pierwszej liczby i o jeden mniej dla trzeciej Stad: Dla n parzystego:

	n   n−2   *1* 2   2		n   n−2   *1* 2   2
P(A+B) =		+		=
	n*(n−1)*(n−2)		n*(n−1)*(n−2)

	n   n−2   2* *1*   2   2		1
=		=
	n*(n−1)*(n−2)		2(n−1)

Dla n nieparzyste natomiast masz:

	n−1   n−3   *1* 2   2		n+1   n−1   *1* 2   2
P(C+D) =		+		=
	n*(n−1)*(n−2)		n*(n−1)*(n−2)

	(n−1)[(n−3) + (n+1)]		(n−1)*2*(n−1)		n−1
=		=		=
	4n*(n−1)*(n−2)		n*(n−1)*(n−2)		2n(n−2)

Wiec ostatecznie masz:

	1	1		1	n−1
P(A+B+C+D) =			+
	2	2(n−1)		2	2n(n−2)

Dlaczego te 1/2 się pojawiły... ponieważ wcześniej przy rozważaniach nie uwzglednialem szansy na to że n będzie liczba parzysta bądź nieparzysta (a szansa na zajście każdego z nich jest taka sama i wynosi 1/2l. Mam nadzieję że w dosyć przyswajalny sposób to przedstawilem

Ania: A co to jest moc zdarzenia A? Są na to wzory konkretne?

Bleee: https://matematykaszkolna.pl/strona/1019.html Liczba zdarzeń elementarnych

Ania: Dziękuję bardzo

Ania: A drugiej liczby wgl nie bierzemy pod uwagę w tym rozumowania? Moc (nie wiem czy używam dobrego słowa xd) pierwszej liczby to n/2 znak drugiej nas nie obchodzi to nie powinno być n−1? No i trzecia wtedy np n/2−1

Blee: Istotny jest indeks pierwszej i trzeciej liczby ... indeks drugiej jest 'sztywny' i zależny od pierwszego i trzeciego ... patrz, że zawsze pisze *1*

Ania: Ale on nie jest dowolny... Musi być konkretną liczba dlatego nie rozumiem. Poza tym podstaw do ostatecznego wzory np 3,nie zgadza się

Ania: Więc coś tu jest nie tak

Ania: Haloo

Mar22: Ale to skomlikowaliscie ludzie dibrze bylo na poczatku 1/n−2

Ania: Ale wtedy też się nie zgadza no dla 3

Ania: Ja już nic nie wiem

Pytający: Policzmy, ile jest ciągów (a_j,a_j+k,a_j+2k) takich, że: j≥1 k≥1 j+2k≤n ⇒ j≤n−2k ⇒ 1≤j≤n−2k, znaczy j może przyjąć ((n−2k)−1)+1=n−2k różnych wartości (indeks

	n−1
pierwszego elementu to 1 lub 2 lub ... lub (n−2k)), a z ograniczenia 1≤n−2k mamy k≤
	2

Wystarczy zsumować ([x] to podłoga z x): ∑_k=1^[(n−1)/2]∑_j=1^n−2k(1)= =∑_k=1^[(n−1)/2]((n−2k)−1+1)= =∑_k=1^[(n−1)/2](n−2k)= =n∑_k=1^[(n−1)/2](1)−2∑_k=1^[(n−1)/2](k)=

	1+[(n−1)/2]
=n([(n−1)/2]−1+1)−2*		*([(n−1)/2]−1+1)=
	2

	n−1		n−1
=[		](n−(1+[		]))=
	2		2

	n−1		n−1
=[		](n−[		]−1), jest to liczba takich ciągów rosnących. Do zadania trzeba
	2		2

jeszcze uwzględnić malejące, ale tych jest tyle samo co rosnących, stąd szukane prawdopodobieństwo to:

n−1   n−1   2[ ](n−[ ]−1)   2   2
	dla n≥3
n(n−1)(n−2)

Tu masz wartości licznika dla początkowych n: https://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B2floor((n-1)%2F2)(n-floor((n-1)%2F2)-1),%7Bn,3,10%7D%5D a tu prawdopodobieństwa: https://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B2floor((n-1)%2F2)(n-floor((n-1)%2F2)-1)%2F(binomial(n,3)*3!),%7Bn,3,10%7D%5D

Blee: Pytający −−− (podobno) to jest zadanie dla 1 liceum

Blee: Aniu −−− dlatego początkowo (12:08) miałem to rozbite na dwie opcje (n parzyste i n nieparzyste) Nie potrzebnie to połączyłem w 14:35

Ania: Blee czyli jak w końcu xd? Zapisz mi proszę same te równania w takim razie

Ania: Pytający w twoim otrzymanym wzorze po postawieniu liczby np 4 też nie wychodzi prawidłowy wynik

Bleee: Patrz końcówkę wpisu z 12:08.

Ania: Ale skąd ty ja wziąłeś i sam piszesz ze trzeba udowodnić

Pytający: Blee, wątku dokładnie nie czytałem, trochę dużo tego. Znaczy nie wiem, z której klasy to zadanie. Acz te sumy raczej łatwo "rozbić na przypadki i na ciągi". Aniu, a jaki jest prawidłowy wynik dla n=4?

Bleee: Kuźwa Aniu... Później Ci napisałem ( o 14:35). Cały wpis z 14:35 poza końcowym zsumowaniem obu przypadków ( dla parzystych i nieparzystych) jest dobrze.

Bleee: Widzę że dopiero teraz zaczynasz czytać to co się do Ciebie pisało przez cały dzien