Podzielnosc Krzysiek60: mam kolejne zadanie z dowodow. Udowodnij ze suma dwoch kolejnych liczb naturalnych i suma ich kwadratow sa liczbami pierwszymi wzgledem siebie a= n+(n+1)= 2n+1 b= n²+(n+1)²= 2n²+2n+1 wspolny dzielnik oznaczam d d|2n+1 d|2n²+2n+1 Postepujac podobnie jak w poprzednim zadaniu d= 2n²+2n+1−(2n+1)= 2n² wobec tego ze d musi byc nieparzyste i rowne 1 wiec to nie wyszlo Natomiast nie rozumiem rozwiazania w ksiazce jest takie d|2n+1 d| 2n²+2n+1 stad d|(2n+1)² − to skad sie wzielo? i d |4n²+4n+2 a wiec d(4n²+4n+2)−(2n+1)² dlaczego tak ? d|1 zatem d=1 i sa to liczby wzgledem siebie pierwszse Poprosze powoli i pomalu

mat: załozmy, że 2n+1=km oraz 2n²+2n+1=kn, gdzie k>2 (bo obie są nieparzyste) 2n=km−1 2n²+2n+1=kn⇔4n²+4n+2=2kn⇔(2n)²+2*2n+2=2kn⇔(km−1)²+2*(km−1)+2=2kn k²m²−2km+1+2km−2+2=2kn⇔k²m²+1=2kn⇔1=2kn−k²m²⇔1=k(2n−km²), k>1 sprzecznosc

mat: niee, pomieszalem symbole, chwila

mat: 2n+1=km oraz 2n²+2n+1=kp ...... k²m²+1=2kp⇔2=k(2p−km²), k>1 sprzecznosc

mat: a jak cchesz wyjasnienia z pdręcznika to d|2n²+2n+1 ⇒(mnoze razy 2) d|4n²+4n+2⇔d|(2n+1)²−1⇒d|−1 ( bo wiadomo, że d|2n+1)

mat: a stąd d=1

Krzysiek60: Mat . Wolalbym jednak jesli pozwolisz to z tego rozwiazania z ksiazki Oczywiscie dziekuje CI za rozwiazanie .Zaraz sobie je przepiszse do zeszytu Potem mam dwa nastepne dowody gdzie muszse udowodnic ze np liczby postaci 14n+3 i 21n+4 sa wzglednie pierwszse albo liczby n³+2n i n⁴+3n²+1 tez sa wzglednie pierwszse

iteRacj@: Dobry wieczór! U Ciebie w książce jest taki sposób, jaki podał Adamm 378927 20:39. Spróbuj tak rozwiązywać NWD(14n+3, 21n+4)=

mat: Niech d|14n+3 oraz d|21n+4 wtedy d|42n+9 oraz d|42n+8 (pierwsze przemnozylem przez 3, drugie przez 2) zatem d|(42n+9)−(42n+8) czyli d|1⇒d=1

mat: tak naprawde to te oba ,,sposoby" to to samo, tylko w drugim po cichu korzystasz z pewnych faktow prostych, ale jednak.... pierwszy jest z definicji

mat: niech d|n³+2n oraz d|n⁴+3n²+1 wtedy: d|n⁴+2n² (przemnozylem razy n), zatem d|n⁴+3n²+1−(n⁴+2n²) czyli d|n²+1, a stąd d|n³+n (znow przemnozylem przez n) zatem d|(n³+2n)−(n³+n) czyli d|n czyli d|n² d|n²+1 oraz d|n² więc d|n²+1−n² czyli d|1 ⇒d=1

Krzysiek60: Poczekaj chwile mat Dobry wieczor iteracj@ d(14n+3, (21n+4−14n−3) d(14n+3 , 7n+1) i co teraz ? mamy dwie liczby nieparzyste

mat: NWD(14n+3,21n+4)=NWD(3*(14n+3),2*(21n+4))=NWD(42n+9,42n+8)=1 NWD dwoch kolejnych liczb wynosi 1

mat: albo tak jak ty napisales ...=NWD(14n+3,7n+1)=NWD(14n+3,2*(7n+1))=NWD(14n+3,14n+2)=1 moglem tak bezkarnie przemnozyc przez 2, bo 14n+3 czy 7n+1 są nieparzyste więc nie dzielą sie przez 2

Krzysiek60: Wiesz co mat ,ja juz chyba to lapie Dzieki za poswiecenie

iteRacj@: tak jak napisał mat 21:46 to są odmiany tego samego sposobu, jednak to, co proponuję jest prostsze na początek NWD(14n+3, 21n+4)=NWD(14n+3, (21n+4−14n−3))= =NWD(14n+3 , 7n+1) = NWD(14n+3−7n−1, 7n+1)= =NWD(7n+2, 7n+1)=NWD(7n+2−7n−1, 7n+1)= =NWD(1, 7n+1)=1

Krzysiek60: dziekuje Tobie rowniez Pozwolisz ze dopytam Ciebie rowniez o to przy wielomianach ,chociaz mat juz podpowiedzial

iteRacj@: jak taka postać jest jasna, to spokojnie można już liczyć krócej, tak jak pokazuje mat