Wzory skróconego mnożenia - skąd? Satan: Skąd się bierze rozkład na iloczyn wyrażenia a³ − b³? Lub nawet a³ + b³. Wzór wzorem, ale potrzebuję wytłumaczenia, by zrobić to samo dla innych przykładów o dowolnej potędze. Znalazłem jakieś wzory, ale nie satysfakcjonuje mnie sam wzór, bo chciałbym zrozumieć, skąd się to bierze

xyza: nie rozumiem ; x

a7: to się bierze z przekształcania wyrażeń algebraicznych, powiedzmy, że ktoś kiedyś zauważył, że jak wymnoży to co we wzorze to mu ładnie wychodzi (bo wymnażasz to co w nawiasach we wzorze ) i tak się przyjęło zamieniać. Czy to Ci coś wyjaśnia? https://matematykaszkolna.pl/strona/55.html

Krzysiek60: Cwiczenie Udowodnij przez wykonanie mnozenia po prawej stronie nastepujacy wzor prawdziwy dla dowolnego n∊Ci dowolnych a i b aⁿ−bⁿ= (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²*b+aⁿ⁻³*b²+,......+a*bⁿ⁻²+bⁿ⁻¹ ) Cwiczenie Udowodnij przez wykonanie mnozenia po prawej stronie nastepujacy wzor prawdziwy dla n naturalnych nieparzuystych li dowolnych a i b aⁿ+bⁿ= (a+b)(aⁿ⁻¹−aⁿ⁻²*b+...........−abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹) Podsatw b=1 do 1 wzoru i rozloz x⁵−1 na czynniki

a7: dla czwartej potęgi i wyższych nie widziałam takiego zamieniania , ale może ktoś mnie sprostuje chyba, że chodzi Ci o dwumian Newtona (?) http://matematykadlastudenta.pl/strona/751.html

Satan: @a7 Są, są, Krzysiu podał, już je widziałem. @Krzysiek60 No dobrze, odpuśćmy sobie genezę wzorów, bo pewnie to jeszcze za trudne dla mnie Same wzory widziałem, ale sęk w tym, że na liście mam takie coś: a⁴ ... b⁴ = (a + b) * ... W miejsce kropek trzeba wstawić kolejno: znak i resztę iloczynu. Zakładam, że ma tam być "+", tylko jest problem. We wzorze, w potędze są liczby nieparzyste, a tutaj mamy parzystą.

Krzysiek60: Nie mam tutaj pomyslu na to twoje .Moze Adamm cos pomoze jedno z cwiczen w ksiazce mam takie rozloz na czynniki x¹⁰+1 to tak sobie mysle zeby wykorzystac ten wzor na (+) to zrobil bym tak x¹⁰+1= (x²)⁵+1⁵

Mila: Dla [Krzysia]] x¹⁰+1=(x²)⁵+1⁵= =(x²+1)*((x²)⁴−(x²)³+(x²)²−(x²)¹+1= =(x²+1)*(x⁸−x⁶+x⁴−x²+1) Satan, napisz co chcesz rozłożyć a⁴−b⁴ ?

Satan: @Mila Generalnie zadanie jest takie, by po lewej stronie równania uzupełnić znak działania, a po prawej dokończyć równanie. Równanie to: a⁴ ... b⁴ = (a + b) * ... I chyba znalazłem odpowiedź. Na jakiejś stronie wyczytałem, że: aⁿ − bⁿ = (a + b)(aⁿ⁻¹ − aⁿ⁻²b + aⁿ⁻³b² − ... + bⁿ⁻¹) I powyższa równość zachodzi dla n parzystych. Tylko jest jakieś uzasadnienie tego? Nie lubię, jak coś nie ma uzasadnienia Link do strony z wzorami: http://www.matematyka.wroc.pl/book/wzory-skr%C3%B3conego-mno%C5%BCenia

Mila: To można tak: a⁴−b⁴=(a²+b²)*(a²−b²)=(a−b)*(a+b)*(a²+b²) i dalej możesz zostawić (a+b) a pozostałe 2 czynniki wymnożyć. Nie wiem jakie są intencje autora zadania.

Satan: Dobra, dla parzystych wiem, jak wykombinować, kwestia rozbicia. A co w sytuacji, gdy n jest nieparzyste i zamiast odejmowania n−tych potęg liczb, dodajemy je? Wzór jest ten sam.

Satan: @Mila Generalnie potem mam zadanie, w którym używa się tych zabiegów, ale trzeba najpierw załapać, jak to działa. Ja, gdy się uczę jestem problematyczny, bo szukam dziury w całym i wręcz muszę wiedzieć, skąd się coś bierze

Mila: W której jesteś klasie, bo nie wiem jak Ci tłumaczyć

Satan: @Mila Teraz zacząłem studia matematyczne Ogółem wydaje mi się, że suma dwóch liczb o n−tej potędze, gdzie n jest nieparzyste można zapisać jako: aⁿ − (−b)ⁿ, co jest równe aⁿ + bⁿ, ale dalej nie widzę tego

Mila: (a³+b³):(a+b)=a²−ab+b² −(a³+a²b) −−−−−−−−−−−−−−− −a²b+b³ −( −a²b−ab²) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− ab²+b³ −(ab²+b³) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− reszta 0 ⇔(a³+b³)=(a+b)*(a²−ab+b²) ======================

Satan: Rozumiem, że w takim wypadku na razie lepiej będzie, jak nie będę drążył tego, jak ktoś na to wpadł Dziękuję, narazie wystarczy

Mila: Skorzystaj z tego co masz w linku.

Mila: Poczekaj aż Adamm pojawi się na forum, to poda Ci literaturę do tych zagadnień.

Adamm: Do jakich zagadnień?

Adamm: Cóż. Nie wiem skąd się wzór bierze, ale wnioskuję że ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego

	1−xn+1
1+x+...+xn =
	1−x

Adamm: To znaczy, wiem skąd się bierze, ale nie wiem jak na to wpadli nasi przodkowie