Równanie kwadratowe z parametrem- problem z deltą Kasia: Witam. Mam pewną wątpliwość odnośnie zadania z podręcznika z Nowej Ery. Wyznacz wartości parametru m tak, aby x₁, x₂ równania x²+mx+2m−3=0 spełniały warunek x²₁x₂+x₁x²₂<0. Czy jak nie ma w treści "różne pierwiastki" to Δ≥0? W odpowiedziach są przedziały otwarte.

PW: Przede wszystkim to nie są "pierwiastki", lecz "rozwiązania" równania. Jeżeli autor zadania pisze o dwóch rozwiązaniach, to znaczy że ma na myśli dwie różne liczby (nie ma czagoś takiego jak dwa jednakowe rozwiązania równania).

ICSP: "tak aby x₁ , x₂ równania"

Eta: Parametr m spełnia układ warunków 1/ Δ≥0 ⇒ m²−8m+12≥0 ⇒ (m−2)(m−6)≥0 ⇒ m∊<−∞,2>U <6,∞) i 2/ x₁x₂(x₁+x₂)<0 ze wzorów Viete^'a (2m−3)*(−m)<0 (2m−3)*m >0 ⇒ m∊(−∞,0) U (1,5 ;∞) wybierz część wspólną jako odpowiedź: odp: m∊(−∞,0) U <6,∞) ====================

Eta: sprawdzamy dla m=6 otrzymujemy równanie x²+6x+9=0 (x+3)²=0 x₁=x₂= −3 (−3)²*(−3)+(−3)*(−3)² = −27−27 <0 ok

PW: Kasiu, a jaka jest odpowiedź w książce?

Eta:

Eta: Kasia pewnie już poszła do

Kasia: Jaka jest różnica między pierwiastkami a rozwiązaniami? w treści było słowo "pierwiastki" przed x₁,x₂ tylko nie zauważyła, że go nie zapisałam.

Kasia: Jestem Odpowiedź: m∊(−∞,0)∪(u{3}[2};2)∪(6;+∞) właśnie bez domknięcia. A mi się wydawało, że właśnie powinno być.

Eta: Poprzednio zapomniałam wpisać jeszcze (3/2,2) Poprawna odp to m∊ (−∞,0) U(3/2,2) U<6,∞) bo zobacz moje sprawdzenie dla m=6

Kasia: Czyli jednak jak nie ma w treści, że te pierwiastki są różne to zakładamy, że może być sytuacja, że x₁=x₂, więc Δ≥0. Nie rozumiem zatem pierwszego komentarza od PW.

PW: P[Kasiu]], no bo właśnie przyjęli warunek Δ>0. Skoro mówią o dwóch tworach nazwanych różnymi symbolami x₁ i x₂, to znaczy że mają na myśli dwa rozwiązania, czyli dwie różne liczby. Nazywanie rozwiązań pierwiastkami jest nieznajomością definicji, powtarzaniem bzdury ciągnącej się od ponad 50 lat.

Eta:

Eta: @PW A co ze sprawdzeniem dla m= 6 ( zachodzi? czy nie?

Eta: A co na to powie Mila

Kasia: Ja w podręczniku mam taką definicję: Liczbę, która jest rozwiązaniem równania wielomianowego W(x)=0, nazywamy pierwiastkiem wielomianu W(x). Czy serio z tej definicji nie wynika pierwiastek=rozwiązanie?

PW: Zobacz na przykład po lewej stronie Matuira z matematyki, maj 2018, zadanie 7. Nie piszą tam o "pierwiastkach równania", lecz o "rozwiązaniach równania". CKE już przyjęła właściwe nazewnictwo, Noa Era jeszcze nie.

Eta: x= −3 −− jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu W(x) x= −3 jest rozwiązaniem równania

PW: Do wpisu z 23:15: no właśnie, rozwiązanie pewnego równania to pierwiastek wielomianu. Ale nie ma czegoś takiego jak pierwiastek równania.

Eta: W(x)= x²+6x+9 ⇒ (x+3)² ⇒ x= −3 i W^'(x)= 2x+6 ⇒ x=−3 x= −3 jest pierwiastkiem dwukrotnym W(x) bo jest pierwiastkiem wielomianu i jest też pierwiastkiem pochodnej tego wielomianu No ale kolega PW lubi.............

Eta: Dobranoc , miłych snów

PW: Eta,

Kasia: Normalnie nie mogę już. No przecież w całym temacie jest napisane: "tak, aby pierwiastki x₁,x₂ równania (tu równanie) spełniały warunek" Eta wierzę Ci na słowo, bo twoje rozwiązanie zgadza się z moją wiedzą. Dobranoc

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/54.html

PW: Kasiu, musisz własnym rozumem rozstrzygnąć wątpliwości. Eta drażni się ze mną. Przyjmij do wiadomości, że to Centralna Komisja Egzaminayjna wyznacza standardy. Spojrzyj jeszcze na zadanie 8. z maja 2017. Mówią o rozwiązaniach równania, nie o pierwiastkach. A gdybyś miała równanie sin²x=1, x∊(0, π), to przyszłoby Ci do głowy opowiadać, że to równanie ma dwa jednakowe pierwiastki

	π		π
x1 =		i x2 =		?
	2		2

No nie, śmieszne, żeby nie powiedzieć głupie. Dlaczego w takim razie o równaniu (x−1)²=0 niektórzy opowiadają, że ma dwa jednakowe pierwiastki, bo x²−2x+1=0 i Δ=0 ? Równanie to ma jedno rozwiązanie x₀=1. Widzisz jakieś drugie? Powiem więcej − wielomian (x−1)² też ma tylko jeden pierwiastek. Nazywają go pierwiastkiem podwójnym z tego względu, że w rozkładzie wielomianu na czynniki pierwsze jest (x−1)² − są dwa jednakowe czynniki. Udzielę Ci rady, choć jak widzę wcale jej nie potrzebujesz, bo znalazłaś w internecie osobę, której podpowiedzi są zgodne z Twoją wiedzą.: − Nie szukaj wiedzy na forach internetowych, bo tam co człowiek, to pogląd. Definicje pojęć, takich jak np. rozwiązanie czy pierwiastek, są w książkach. Pytaj też swojego nauczyciela oraz czytaj materiały Centralnej Komisji Egzaminacyjnej (to ona wystawi oceny za rozwiązania zadań maturalnych).

Kasia: Wyprostujmy. Nie mam swojego nauczyciela, bo dawno temu skończyłam szkołę. Proszę mnie nie traktować jak licealisty co dopiero co zaczął równania kwadratowe. PW sam sobie przeczysz. Cytuję co jest w podręczniku to twierdzisz, że głupoty wypisują a następnie, że wiedzy mam szukać w książkach. W kluczu od CKE matura rozszerzona 2018 jest napisane: "Ze wzorów Viète’a na sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego...". Więc CKE używa słowa "pierwiastki". No chyba, że zaraz się dowiem, że trójmian kwadratowy to nie to samo co równanie kwadratowe. Poza tym w całej tej dyskusji nie chodzi o to czy rozwiązania nazywać rozwiązaniami czy pierwiastkami. Chodziło mi o to czy, jeśli w zadaniu nie pojawia się słowo różne rozwiązania, pierwiastki jak zwał tak zwał to czy przyjmuje się, że dane równanie może mieć jeden pierwiastek. Nie pytam czy to ma sens. Dla mnie to również nie ma sensu. Jak tylko zobaczyłam pierwszy raz

	−b
tablice maturalne a w nich x1=x2=		to się zdziwiłam. Za moich czasów było x0. Ale
	2a

jak już zaczęliśmy się wymieniać zwrotami patrz tu, patrz tam to jeśli nie wierzysz to PW wpisz w google tablice maturalne 2019 CKE i spójrz na stronę 6. Tak jak przy równaniu sprzecznym jest dopuszczalne pisać, że x∊∅. Czy to ma sens? Nie. Jakby x należał do zbioru pustego to zbiór pusty nie byłby pusty. A jednak jak na maturze zastosuje się ten zapis to punktów nie obniżają. A może jest na sali jakiś nauczyciel albo egzaminator i wypowie się na ten temat? PS. Ja uważam, że Δ≥0 i Eta to może PW Ty się mylisz?

PW: Nie mylę się i byłem nauczycielem. Oczywiście że trójmian kwadratowy to coś innego niż równanie kwadratowe, ale Ty tego nie rozumiesz i zdaje się nic z tego co pisałem nie dociera do Ciebie. Sensu logicznego napisu "x∊∅" nie rozumiesz i niepotrzebnie dołączasz tego rodzaju wątpliwości, bo one nic nie mają wspólnego z dyskusją o różnicy między pierwiastkiem a rozwiazaniem. Pozostań więc przy swoich poglądach, ja już jestem zmęczony tłumaczeniem, że jeden obiekt nie może mieć dwóch nazw. Jedni "to coś" nazywają rozwiązaniem, inni pierwiastkiem równania , a tak być nie może. To nie literatura piękna. Sama pisałaś, że pierwiastek wielomianu to rozwiązanie pewnego równania. Tak jest jak pisali w książce − pierwiastkiem wielomianu nazywane jest pewne rozwiązanie, pojęcie pierwiastka wielomianu jest tłumaczone za pomocą pojęcia rozwiązania równania, które ma swoją definicję. i nie ma nic wspólnego z wielomianami. Dostatecznie długo żyję, żeby stwierdzić, że mylenie tych pojęć jast nagminne od co najmniej 50 lat, i do dzisiaj pokutuje w zbiorach zadań.

PW: Często tak jest, że dwoje ludzi czyta ten sam dokument i rozumie co innego. Nie jest mi to potrzebne, ale znalazłem odpowiedni cytat: − jeżeli Δ < 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), − jeżeli Δ = 0 , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): (tu wzór) − jeżeli Δ > 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): (tu wzory). Źródło: https://www.cke.edu.pl/images/stories/Tablice/tablice_matematyczne.pdf

Kasia: Ja naprawdę staram się zrozumieć o co Ci chodzi, ale nadal nie rozumiem. Przeanalizowałam naszą rozmowę. 1) Rozwiązanie równania W(x)=0 to liczba, która spełnia równanie W(x)=0. Prawda czy nie? 2) Pierwiastek wielomianu W(x) to liczba, która spełnia równanie W(x)=0. Prawda czy nie? 3) Czy można powiedzieć, że rozwiązanie równania W(x)=0 to pierwiastek wielomianu czy nie? I czy ostatecznie chodzi Ci oto, żeby nie nazywać "pierwiastka wielomianu" "rozwiązaniem równania"? Tak z czystego formalizmu? Jeśli na maturze będzie zadanie: "Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa rozwiązania dodatnie" to w końcu Δ>0 czy Δ≥0? Jeśli Δ>0 to po co w kółko i w kółko piszą, że te rozwiązania mają być różne? ______________________________________________________________ Też mnie bardzo zastanawia co miałeś na myśli z: "Sensu logicznego napisu "x∊∅" nie rozumiesz" To jaki jest sens logiczny tego zapisu? I czy według Ciebie można podpisać pod równaniem sprzecznym np. x²=−4, że x∊∅? Jeśli nie to wytłumacz mi tak jak swojemu uczniowi dlaczego nie. Prawda, że odbiega to od głównego tematu, ale jednak to też ważny maturalny problem.

Kacper: Witam PW. Niestety CKE też nie stosuje się do podanego zapisu: matura 2011/zadanie 6 : https://matematykaszkolna.pl/strona/2995.html matura 2011/zadanie 2 https://matematykaszkolna.pl/strona/3621.html matura 2012/ zadanie 4 https://matematykaszkolna.pl/strona/3395.html i "Nowa matura" https://matematykaszkolna.pl/strona/4427.html Nie zmienia to faktu, że zgadzam się z Tobą, że jest pewien kłopot z tym i najgorsze że nauczyciele często odejmują uczniom punkty za napisanie że równanie dla Δ=0 ma jedno rozwiązanie i ja się zastanawiam jak się liczy sumę jednej liczby? Mnie uczyli że dodawanie to działanie dwuargumentowe.