matematykaszkolna.pl
Niby proste równanie Kraterek: Maszeruje oddział żołnierzy. Głębokość szyku (odległość od pierwszego do ostatniego żołnierza) wynosi 20 m. Od pierwszego żołnierza odbiegł pies, dobiegł do ostatniego żołnierza, zawrócił i dobiegł znów do pierwszego. W czasie gdy pies biegał, żołnierze przeszli 20 m. Jaką odległość przebiegł pies?
25 wrz 12:07
Kraterek: Czy ktoś ma pomysł?
25 wrz 13:14
PW: 378144
25 wrz 13:16
Kraterek: Po prostu 40 m? Wydaje mi się, że to trudno policzyć − brakuje jakiejś informacji o prędkości.
25 wrz 13:19
Bleee: Nie będzie to 40 metrów. Bo by to oznaczało że biegnąc od pierwszego do ostatniego żołnierza pokonuje pies drogę 10 metrów i taka sama w tym czasie pokonuje kolumna, więc podążają z tą samą prędkością, więc pies nigdy nie dogoni pierwszego żołnierza. Natomiast jeżeli pies podąża dwukrotnie szybciej niż kolumna to pokonuje on łącznie drogę 20*(2/3) + 20*(5/3) co jest odległościa większą niż 40 metrów i dodatkowo − − − nie zdąży dogonić pierwszego żołnierza nim kolumna przejdzie 20 metrów.
25 wrz 14:54
Bleee: Robimy tutaj proporcje:
x 20+x 

=

20−x x 
Gdzie x to droga jaka przebiegł pies od pierwszego do ostatniego, a całkowita przebywa trasa przez psa wynosi 20+2x x2 = 400 − x2 x2 = 200 x = 102 Wiec pies przebył drogę 20(1+2)
25 wrz 15:04
Bleee: Autorze... zastanów się skąd taka proporcja, jak nie wiedział to się odezwij
25 wrz 15:06
PW: Nie jestem fizykiem, ale może trzeba pomyśleć tak: Gdyby stary mądry pies położył się i poczekał aż ostatni żołnież zrówna się z nim, po czym oddział zrobi "w tył zwrot" i przemaszeruje z powrotem, to pierwszy żołnierz pokona względem nieruchomego psa dystans 2×20 m = 40 m. Trzeba odpowiedziec na pytanie: − Czy łączny dystans między psem a pierwszym żołnierzem zmieni się, jeżeli najpierw pies pobiegnie "w tę", a potem "we w tę"? Na pewno prędkości przemieszczania się psa względem pierwszego żołnierza będą dwie różne, ale czy łączna przebyta droga? Zadanie okazało się trudne, więc proszę się nie naśmiewać
25 wrz 15:35
Bleee: PW ale tu fizyka nie ma znaczenia, to zadanie jest analogiczne do zadania: Dla jakiego x trójkąty prostokątne (o przyprostokatnych x i 20−x oraz 20+x i x) będą podobne
25 wrz 18:37
Bleee: Spójrz jaka ja proporcje zrobiłem.
droga psa 

droga kolumny 
25 wrz 18:38
Kraterek: Bleee Próbuję to rozrysować, chyba Twoje rozwiązanie ma sens, ale jeszcze nie wiem dokładnie czy wszystko rozumiem, będę rozgryzać dalej emotka W każdym razie dzięki.
26 wrz 12:49
Blee: rysunek I porównujemy:
dpsa 

=
dżołnierzy 
= x/(20−x) ; w pierwszym etapie poruszania 
= (20+x)/x ; w drugim etapie poruszania
26 wrz 12:59
Blee: masz rysunek (wcześniej nie mogłem go dać, bo pisałem z komórki)
26 wrz 12:59
Kraterek: Blee A czy czasem pies nie przebiegł na drugim etapie 20−x+20=40−x? Musiał dobiec znów do ostatniego żołnierza, który w tym czasie przemieścił się o 20−x i potem jeszcze na czoło kolumny czyli 20. A w ogóle to nie wiem czy bez danych prędkości można to rozwiązać.
26 wrz 19:21
PW: No trudne ci jest emotka. Blee ma rację, ale nie umiem sam sobie tego "po swojemu" wytłumaczyć. Już posunąłem się do przykładu: prędkość oddziału 2 m/s, a prędkość psa 4,95 m/s (dane zgodne z fizjologią) i prawie się zgodziło. Tyle że w zadaniu nie ma żdanych danych poza tym, że pies biegał dopóki oddział nie przeszedł 20 m (i akurat wtedy dobiegł z powrotem do pierwszego żołnierza).
26 wrz 19:52
Bleee: Karatek 1) pies biegnie od pierwszego do ostatniego żołnierza i biegnie tak x metrów, w tym czasie kolumna poruszyła się o 20−x metrów (tak by ich łączna droga dała 20 metrów, czyli długość kolumn ) − − − patrz niebieski kwadrat 2) pies biegnie teraz w tą samą stronę co kolumna... Kolumna poruszy się o brakującą liczbę metrów czyli dokładnie o x metrów (bo 20 = (20−x) + x), natomiast pies poruszył się o 20+x metrów (droga która przeszła kolumna + długość kolumny) 2) innymi slowy: pies był x metrów od punktu startowego pierwszego żołnierza (przed rozpoczęciem ruchu), wiemy że pierwszy żołnierz ostatecznie znajdzie się 20 metrów od początkowego miejsca, więc pies musiał przebiec 'stracone' x metrów a następnie te 20 metrów. Mam nadzieję że trochę rozjasnilem
27 wrz 00:34
PW: rysunekNiech x oznacza drogę przebytą przez psa do momentu, gdy zrówna się z ostatnim żołnierzem podążającym w przeciwnym kierunku. Pies przebiegnie 2x+20 (dwukrotnie drogę x oraz 20 m jakie przejdzie pierwszy żołnierz od momentu startu). Postaramy się obliczyć x, wiedząc że w pewnym czasie t1 (od momentu startu do spotkania psa z ostatnim żołnierzem) pies przebiegł drogę x, zaś ostatni żołnierz zieloną drogę (20−x):
 x 
t1=

 Vpsa 
 20−x 
t1=

,
 Voddziału 
skąd
 x 20−x 

=

 Vpsa Voddziału 
Po podzieleniu obu stron równania przez t − czas od momentu startu do końcowego spotkania psa z pierwszym żołnierzem − otrzymamy
 x 20−x 

=

 t.Vpsa t.Voddziału 
czyli
 x 20−x 

=

.
 2x+20 20 
Równanie to jest równoważne równaniu 20x=40x−2x2+400−20x x2=200 x=102 Odpowiedź: Pies przebiegł 2x+20 = 202+20=20(2+1} czyli ok. 48,28 m. Blee zrobił to z talentem, ja musiałem się podeprzeć w sposób jawny pojęciami "droga−prędkość−czas", ale nareszcie zrozumiałem. Z pokorą przyznaję, że często problem wydaje się łatwiejszy niż jest i popełniamy fatalne błędy 378144 (mówię o sobie).
27 wrz 12:18
ite: jako autorka nieprawidłowej odpowiedzi z wątku 378144 też przyznaję, że łatwo jest popełnić błąd
27 wrz 14:08