zbiór Olkaa: Dany jest zbiór S liczb naturalnych 1,2,3,...200. Znaleźć najmiejszą liczbę k taką że: w każdym podbiorze A zbioru S, gdzie |A|=k, istnieją liczby x,y ∊A takie ze x|y.

Adamm: k=1

PW: Jak wiadomo jest 46 liczb pierwszych mniejszych od 200. Szukana liczba k musi być więc większa od 46 − zbiór A złożonych z liczb pierwszych ma 46 elementów i dla żadnej pary liczb x,y ∊ A nie zachodzi warunek x|y. Pytanie, czy k=47 spełnia warunki zadania (nie wiem).

Adamm: znalazłem na razie że k≥84, ale jestem pewien że jest większe

Adamm: pomyliłem się, jednak k≥80

Adamm: jeśli x≠y k>π(200)=46 ⇔ k≥47 w przeciwnym wypadku moglibyśmy wybrać 46 liczb pierwszych, i żadna nie była by podzielna przez drugą wybierzmy 2⁷, 3⁴, 5³, 7², 11², 13² i pierwsze >13, plus pary 2, 3, 5, 7, 11, 13 2 x 3, 2² x 3, 2³ x 3, ..., 2⁶ x 3 2 x 3², ..., 2⁴ x 3² 2 x 3³, 2² x 3³ 2 x 5, ..., 2⁵ x 5 2 x 5², ..., 2³ x 5² 2 x 7, ..., 2⁴ x 7 3 x 5, ..., 3³ x 5 3 x 5² 3 x 7, ..., 3³ x 7 5 x 7, 5² x 7 11 x 2, ..., 11 x 2⁴ 11 x 3, ..., 11 x 3² 11 x 5, 11 x 7 13 x 2, ..., 13 x 2³ 13 x 3, 13 x 3² 13 x 5, 13 x 7, 13 x 11 razem 46+6+4+2+5+3+4+3+1+3+2+4+2+2+3+2+3 = 95 więc k≥96 myślę że k może tu być równe 96

Blee: Odpiwiedz k=1 powinna byc prawidlowa, w koncu nie ma informacji ze x≠y, a jezeli juz to wtedy k≥101 Niech k=100 Wybieramy podzbior: A= {101, 102, 103, ... , 199, 200} jak latwo zauwazyc zadna z tych liczb nie dzieli innej z tych liczb. Wiec na pewno k>100.

Vax: Istotnie k = 101 Każdą liczbę ze zbioru {1,2,3,...,200} można zapisać w postaci 2^m*n gdzie m ≥ 0 jest całkowite nieujemne i n ∊ B = {1,3,5,...,199}. Ponieważ |B| = 100 to z zasady szufladkowej Dirichleta wybierzemy dwie liczby o tym samym n, mniejsza z nich dzieli większą.

Mila: Vax Witamy na forum. Myślałam o Twojej pomocy w zadaniu: https://matematykaszkolna.pl/forum/377164.html

Vax: Hej Mila Szczerze mówiąc tam już nic nie ma do robienia. Mariusz w swoim drugim poście sprowadził to do iloczynu dwóch trójmianów (nie sprawdzam rachunków...). Najprawdopodobniej jak już wspomniano autorka źle przepisała przykład.

Mila: Dziękuję, jak Twoje studia? Zadowolony?

Vax: Miło, ze pytasz. Tak, w sumie jestem bardzo zadowolony. Sporo się nauczyłem, zwłaszcza z informatyki Z niej właśnie kończę licencjat (muszę jeszcze egzamin licencjacki napisać we wrześniu bo termin pokrył mi się z rozpoczęciem praktyk..). Planowo za rok kończę licencjat z matematyki i od tego października zaczynam magisterkę z informatyki. Tak więc jeszcze trochę przede mną, na szczęście już bliżej niż dalej. Szkoda trochę, że już nie ma tyle wolnego czasu na robienie olimpijskich zadań jak kiedyś, ale na ile się da staram się robić jakieś ciekawsze rzeczy żeby podtrzymywać formę

Mila: Gratuluję i życzę sukcesów oraz udanego życia osobistego Zaglądaj do nas na forum.