Help MONIKA: Rozłóż wielomian na czynniki: x⁴−x³+9x²−9x+10

Jerzy: Szukaj miejsca zerowego wśród podzielników liczby 10.

Adamm: Nie da się tego rozłożyć na iloczyn dwóch wielomianów o współczynnikach całkowitych. Wzory Ferrari zostają

Mila: Nie wiadomo, czy dobrze przepisane zadanie. Autorka milczy

MONIKA: No właśnie dobrze i mam problem.

Mila: Studia, czy LO?

Adamm: Myślę że nawet na studiach by jej takiego zadania nie dali

Mariusz: x⁴−x³+9x²−9x+10=0 Jednym z zastosowań schematu Hornera jest rozkład wielomianu na sumę potęg dwumianu Przyda się on nam to wyrugowania wyrazu z x³ 1 −1 9 −9 10 1/4 1 −3/4 141/16 −435/64 2125/256 1/4 1 −1/2 139/16 −296/64 1/4 1 −1/4 138/16 1/4 1 0 1/4 1

	1		69		1		37		1
(x−		)4+		(x−		)2−		(x−		)+2125/256=0
	4		8		4		8		4

	1
y=x−
	4

	69		37		2125
y4+		y2−		y+		=0
	8		8		256

Gdybyśmy nie rugowali wyrazu z x³ to równanie rozwiązujące by nam się skomplikowało Gdyby współczynnik przy y był zerowy to równanie dość łatwo można by było sprowadzić do kwadratowego

	69		37		2125
Do rozkładu wielomianu y4+		y2−		y+
	8		8		256

na czynniki użyjmy współczynników nieoznaczonych Zapiszmy wielomian czwartego stopnia w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych i porównajmy współczynniki

	69		37		2125
y4+		y2−		y+		=(y2−py+q)(y2+py+r)=0
	8		8		256

	69		37		2125
y4+		y2−		y+		=
	8		8		256

y⁴+py³+ry²−py³−p²y²−pry+qy²+qpy+qr

	69		37		2125
y4+(q+r−p2)y2+(pq−pr)y+qr=y4+		y2−		y+
	8		8		256

	69
q+r−p2=
	8

	37
pq−pr=−
	8

	2125
qr =
	256

	69
q+r=		+p2
	8

	37
p(q−r)=−
	8

	2125
4qr=
	64

	69
q+r=		+p2
	8

	37
q−r=−
	8p

	2125
4qr=
	64

	69		37
2q =		+p2 −
	8		8p

	69		37
2r =		+p2 +
	8		8p

	2125
4qr=
	64

	69		37		69		37		2125
(		+p2 −		)(		+p2 +		)=
	8		8p		8		8p		64

	4761		69		1369		2125
(		+		p2+p4)−		=
	64		4		64p2		64

	69		659		1369
p6+		p4+		p2−		=0
	4		16		64

p²=z

	69		659		1369
z3+		z2+		z−		=0
	4		16		64

1 69/4 659/16 −1369/64 −23/4 1 23/2 −399/16 122 −23/4 1 23/4 −58 −23/4 1 0 −23/4 1

	23		23
(z+		)3−58(z+		)+122=0
	4		4

	23
w =z+
	4

w³−58w+122=0 Załóżmy że rozwiązanie można wyrazić w postaci sumy dwóch składników w = u+v Wstawmy przewidzianą postać rozwiązania do równania i pogrupujmy wyrazy (u+v)³−58(u+v)+122=0 u³+v³+3u²v+3uv²−58(u+v)+122=0

	58
u3+v3+122+3(u+v)(uv−		)=0
	3

Zapiszmy powyższe równanie w postaci układu równań u³+v³+122=0

	58
uv−		=0
	3

u³+v³=−122

	58
uv=		=0
	3

Widzimy że układ równań przypomina nam wzory Vieta dla równania kwadratowego Przekształćmy więc ten układ równań aby otrzymać wzory Vieta dla równania kwadratowego u³+v³=−122

	195112
u3v3=
	27

Wiedząc że powyższy układ równań to wzory Vieta zapiszmy równanie kwadradowe

	195112
t2+122t+		=0
	27

Powyższe równanie rozwiązałem przez sprowadzenie do postaci kanonicznej ale można też wyróżnikiem

	195112
(t+61)2−3721+		=0
	27

	94645
(t+61)2+		=0
	27

	283935
(t+61)2+		=0
	81

Tutaj mamy wybór albo rozwiązujemy dalej metodą algebraiczną Przydadzą się wtedy wiadomości o liczbach zespolonych między innymi postać trygonometryczna, pierwiastki z jedynki, wzór de Moivre Możesz też zrezygnować z metody algebraicznej i próbować rozwiązywać równanie z użyciem trygonometrii Przydatny będzie wzór na cosinus bądź sinus kąta potrojonego

	549+√283935i		549−√283935i
(t+		)(t+		)=0
	9		9

	−1647−3√283935i		−1647+3√283935i
(t−		)(t−		)=0
	27		27

	1
w =		(3√−1647−3√283935i+3√−1647+3√283935i)
	3

	23		1
z+		=		(3√−1647−3√283935i+3√−1647+3√283935i)
	4		3

	1		23
z=		(3√−1647−3√283935i+3√−1647+3√283935i)−
	3		4

	2		π		1		√283935		23
z =		√174cos(		−		arctan(		))−
	3		3		3		549		4

p=√z

	1		69		37
q =		(		+p2 −		)
	2		8		8p

	1		69		37
r =		(		+p2 +		)
	2		8		8p

	69		37		2125
i mamy wielomian y4+		y2−		y+
	8		8		256

rozłożony na czynniki kwadratowe Milczy bo pewnie domyśliła się że nie chcecie jej pomóc

Mariusz: Można też sprowadzić wielomian najpierw do różnicy kwadratów x⁴−x³+9x²−9x+10=0 Grupujemy wyrazy wielomianu (x⁴−x³)−(−9x²+9x−10)=0 Dopełniamy wielomian w lewym nawiasie do kwadratu zgodnie z wzorami skróconego mnożenia

	x2		x2
(x4−x3+		)−(		−9x2+9x−10)=0
	4		4

	1		35
(x2−		x)2−(−		x2+9x−10)=0
	2		4

Wielomian w prawym nawiasie jest trójmianem kwadratowym i będzie kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik będzie równy zero Wprowadzamy więc nową zmienną aby uzależnić od niej wyróżnik trójmianu kwadratowego Zmienną wprowadzamy tak aby wielomian w lewym nawiasie nadal był kwadratem zupełnym znowu korzystając ze wzorów skróconego mnożenia

	1		y		35		1		y2
(x2−		x+		)2−((y−		)x2+(−		y+9)x+		−10)=0
	2		2		4		2		4

	y2		35		1
4(		−10)(y−		)−(−		y+9)2=0
	4		4		2

	35		1
(y2−40)(y−		)−(		y2−9y+81)=0
	4		4

	35		1
(y3−		y2−40y+350)−(		y2−9y+81)=0
	4		4

y³−9y−31y+269=0 1 −9 −31 269 3 1 −6 −49 122 3 1 −3 −58 3 1 0 3 1 (y−3)³−58(y−3)+122=0 w = y − 3 w³−58w+122=0 Powyższe równanie rozwiązałem we wcześniejszym wpisie

	2		π		1		√283935
w =		√174cos(		−		arctan(		))
	3		3		3		549

	2		π		1		√283935
y−3 =		√174cos(		−		arctan(		))
	3		3		3		549

	2		π		1		√283935
y =		√174cos(		−		arctan(		))+3
	3		3		3		549

	1		y		35		1		y2
(x2−		x+		)2−((y−		)x2−(		y−9)x+		−10)=0
	2		2		4		2		4

	1		y		4y−35		1   y−9 2
(x2−		x+		)2−		(x2−		)2=0
	2		2		4		4y−35   2( )   4

	1		y		4y−35		y−18
(x2−		x+		)2−		(x2−		)2=0
	2		2		4		4y−35   4( )   4

	1		y		4y−35		y−18
(x2−		x+		)2−		(x2−		)2=0
	2		2		4		4y−35

	1		y		√4y−35		y−18	√4y−35
(x2−		x+		)2−(		x2−			)2=0
	2		2		2		4y−35	2

	1		y		√4y−35		y−18
(x2−		x+		)2−(		x2−		)2=0
	2		2		2		2√4y−35

	1		1		y−18
(x2−		(1−√4y−35)x+		(y−		))
	2		2		√4y−35

	1		1		y−18
(x2−		(1+√4y−35)x+		(y+		))=0
	2		2		√4y−35

mat: a moze zamiast +10 było =0 [nieczytelne notki ] wtedy x⁴−x³+9x²−9x=0 i standard Obstawiam że tak było

PW: MONIKA twierdzi, że dobrze przepisane, choć nie zdradza, czy jest studentką. Nawet jeśli − to zadanie na zapalenie płuc. Powiedziałbym nawet, że takie zadania zabijają chęć do matematyki. Moniko, skąd wzięłaś to zadanie?

T: Hmmmmm. x4−x3+9x2−9x+10 <==> x(x−1)(x²+9)+10=0 x −−> f(x): 0 −−> 10 1 −−> 10 >1 −−> >10 <0 −−> >10 (0,1) −−> x(x−1) ∊ (−1,0), x²+9 ∊ (9,10) ==> x(x−1)(x²+9) ∊ (−10,0) Czyli nie ma pierwiastków rzeczywistych. Tylko urojone. Czy sie pomylilem?

Mila: Masz rację PW, dlatego nie myślę nad rozwiązaniem, (po pierwszej próbie.) Pozdrawiam

T: Karza szukac zespolonych?

Mila: Więzieniem

Adamm: ma tylko zespolone, ale to nic nie zmienia można go rozłożyć na 2 wielomiany stopnia 2

T: Zmienia, ze sa dwie pary sprzezonych pierwiastkow urojonych.

Adamm: ?

T: Z tego co pamietam, aby wielomian mial wspolczynniki rzeczywiste, to kazdy pierwiastek urojony musi mieć do pary drogi sprzężony. a+bi, a−bi c+di, c−di

Adamm: Dobra, wierzę ci. Jaki to ma związek z tym co mówiłeś wcześniej o 19:15?

T: Wielomian 4 stopnia ma 4 pierwiastki zespolone. Udowodnilem ze sa one urojone. Tzn. ze sa dwie pary sprzezonych pierwiastkow. a+bi, a−bi c+di, c−di Gdzie b≠0, d≠0. To daje dużo informacji.

Adamm: Żeby rozłożyć wielomian na czynniki, nadal musisz to zrobić tak jak to zrobił Mariusz Więc wiele nam wcale nie daje

T: np. 4 niewiadome i. 4 rownania. (z−z₁)(z−z₁^s)(z−z₂)(z−z₂^s) = po podstawieniu i przyrownaniu do Wielomianu.

Adamm: To zaprezentuj swój sposób. Bo jak na moje oko to lejesz wodę.

Mariusz: T: Możesz w ten sposób Napisz układ równań na pierwiastki np x₁ + x₂ − x₃ − x₄ = u₁ x₁ − x₂ + x₃ − x₄ = u₂ x₁ − x₂ − x₃ + x₄ = u₃ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = −a₃ i wtedy współczynniki wielomianu (z−u₁)(z−u₂)(z−u₃)(z+u₁)(z+u₂)(z+u₃) będą funkcjami symetrycznymi pierwiastków równania czwartego stopnia To co proponujesz może nie zadziałać

T: Adamm: Głośno myślę. Znam standardową metodę na wielomiany 4 stopnia. Ale próbowałem wyszukać jakiś prostsze rozwiązanie, podyskutowac grupowo. Nie doszedłem do rozwiązania. 4a + 4c = 1 A + 16ac + B = 9 aB + cA = 9/4 AB = 10 Gdzie: A = a² + b² B = a² + b² Nie widzę jak to rozwikłać. Mariusz: Możliwe, że idę w ślepa uliczke. Tej Metody nie rozumiem z wielomianem 6 stopnia.

T: B = c² + d²

Mariusz: Większość metod dla równań trzeciego i czwartego stopnia opiera się na tym że musisz najpierw rozwiązać równanie szóstego stopnia z tym że gdy rozwiązujesz równanie trzeciego stopnia równanie szóstego stopnia jest sprowadzalne do równania kwadratowego a gdy rozwiązujesz równanie czwartego stopnia równanie szóstego stopnia jest sprowadzalne do równania trzeciego stopnia Jeśli chodzi o sposób z układem równań jaki podałem to czynniki w tym wielomianie możesz łatwo połączyć w pary i obniżyć stopnień równania ale aby dostać współczynniki tego wielomianu musiałbyś trochę poczytać o funkcjach symetrycznych

T: Ciekawe. Nie zgłębiałem nigdy tego tematu. Dziękuję za wyjaśnienie.

Mila: Dla T , czytaj wpis Vax−a Pierwiastki równania 4 stopnia sprzężone parami https://www.matematyka.pl/227371.htm

Mariusz: Jakiś czas temu dałem Vaxowi do przeczytania poniższy pdf i razem przeanalizowaliśmy tę metodę http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf Wydaje mi się że ona wymaga najmniej obliczeń

Mila: Mariuszu, Znam ten materiał, ale w tym zadaniu ( nie jestem pewna tej treści) równanie 3−stopnia ma "brzydkie" pierwiastki. Właściwie to nie trzeba szukać rozwiązań równania 4 stopnia, ale przedstawić w postaci iloczynu i Vax przedstawił czytelnie metodę na konkretnym przypadku. Podałam linka dla Moniki. Autorka wpisała i nie ma z nią kontaktu. Bardzo się napracowałeś szukając rozwiązań, ( nie sprawdzałam Twoich obliczeń, ale ja też mam skomplikowane, może pomyliłam się?). Próbowałam wg sugestii T, ale też nie wychodzi.