kule ze zwrotem Bartek: Mamy dwie urny: pierwsza z kulami: 6 białych i 2 czarne; w drugiej: 3 białe i 5 czarnych. Rzucamy raz symetryczną kostką do gry. Jeżeli wypadła szóstka to losujemy pięciokrotnie ze ZWROTEM z urny pierwszej. W przeciwnym wypadku losujemy pięciokrotnie ze zwrotem z urny drugiej. a) Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch kul białych? b) Jeżeli wylosowaliśmy dwie kule białe, to jakie jest p−sto, że pochodzą one z urny pierwszej? Jest to pierwsze zadanie które robię, w którym losujemy ze zwrotem. Jeżeli chodzi o rzut kostką, to wylosowanie szóstki wynosi 1/6 Podzielę sobie to na zdarzenia: A − losujemy z pierwszej urny B − losujemy z drugiej urny. |Ω_A| = 8⁵ ponieważ mamy 8 kul, losujemy 5−razy ze zwrotem |Ω_B| = 8⁵ a) Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch kul białych? Jeżeli spojrzymy na zdarzenie A − losujemy z pierwszej urny, to 6² (białe) oraz dodatkowo czarne 2³

	1		62 * 23
P(A) =		*		?
	6		85

	5		32 * 53
P(B) =		*		?
	6		85

	1		62 * 23		5		32 * 53
Więc P = (		*		) + (		*		)
	6		85		6		85

Nie mam pojęcia czy cokolwiek dobrze zrobiłem, poproszę o jakieś wskazówki.

jc:

Bartek: to w końcu jak? bo już nic nie wiem..

jc: Pomnożyłbym wynik przez 10.

Bartek: dlaczego?

jc: Rozważ prostszy przypadek, 1 biała, 1 czarna. dwa razy losujesz ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania jednej białej kuli? 1/2 czy 1/4?

Bartek: wydaje mi się, że 1/4, jednak na nic mnie to nie naprowadziło

jc: Wypisz Ω oraz zdarzenia sprzyjające (nie ma tego wiele).

Bartek: Ω = (b, b), (c,c), (c,b), (b,c) Sprzyjające: (b,c), (c,b) Okej, wychodzi 1/2 Nadal niestety nie wiem, co w związku z tym

jc: A jak byś miał 2 białe i jedną czarną? Czy wynikiem byłaby liczba 1/9 czy 2/9?

jc: Oj, przepraszam, 2/9 czy 4/9?

Mila: Losowanie kul z urny ze zwracaniem: Jc ma rację. ======================= Doświadczenie losowe Losowanie pięciokrotne po jednej kuli ze zwracaniem. W doświadczeniu ważna jest kolejność

	5!
2 kule białe i trzy czarne możemy ustawić na		=10 sposobów
	2!*3!

	1		62*23		5		32*53
P(BB)=		*10*		+		*10*
	6		85		6		85

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− https://matematykaszkolna.pl/forum/208463.html W tym linku masz drzewko dla losowania 3 kul z urny, oblicz z drzewka prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych i wg Twojej metody z 18:34 II sposób Doświadczenie losowe: Losowanie pięciokrotne po jednej kuli ze zwracaniem. Mamy tutaj serię doświadczeń wg schematu Bernoulliego. I urna n=5 − liczba prób k=2 − liczba sukcesów

	6		3
p=		=		− prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie
	8		4

	1
q=		− prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie
	4

	5 2
P5(k=2)=		*p2*q3

	3		1		32
P5(k=2)=10*(		)2*		)3=10*
	4		4		45

II urna

	3		5
p=		, q=
	8		8

	5 2		3		5		32*53
P5(k=2)		*(		)2*(		)3=10*
			8		8		85

Popraw swoje obliczenia. Jesli będą pytania, to pisz.

Bartek: jc: "A jak byś miał 2 białe i jedną czarną?" Dwa razy losuje ze zwracaniem, jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania jednej białej kuli? Ω = (c, b₁), (b₁ ,c), (c, b₂), (b₂, c), (b₁, b₂), (b₂, b₁), (c, c), (b₁, b₁), (b₂, b₂) = 9 Czyli, z trzech kul losuje 2−razy ze zwrotem, więc 3² = 9 Zdarzenia sprzyjające: (c, b₁), (b₁, c), (c, b₂), (b₂, c) = 4 Więc P = 4/9 Losuje dwukrotnie i mam wylosować jedną białą i jedną czarną: Z dwóch białych losuje jedną 2¹ Z jednej czarnej losuje jedną 1¹ i tak, gdybym liczył tak jak na początku był miał 2*1 = 2, więc moje p−stwo wyszło by 2/9 co jest nieprawdą. Teraz udało mi sie zobaczyć mój wcześniejszy bład.. Następnie, na ile sposobów można ułożyć jedną kule białą i jedną kule czarną? Na dwa.

	2		4
2 *		=
	9		9

Czy teraz mój sposób myślenia jest poprawny? Odnośnie wcześniejszego zadania mam jeszcze pytanie, Mila napisała:

	5!
"2 kule białe i trzy czarne możemy ustawić na		= 10"
	2!*3!

Nigdy nie zastanawiałem się nad wyliczaniem takiego rozmieszczenia, więc proszę o sprawdzenie, czy dobrze rozumiem: Gdyby to było 5 różnych kul, to je moglibyśmy rozmieścić na 5! sposobów, ale że mamy dwie białe, to je na 2! sposobów, i trzy czarne, to je na 3! sposób.

	5!
Z tego robimy taki ułamek:		= 10, tak?
	2!*3!

Na ile sposobów możemy rozmieścić jedną kule białą i jedną czarną? Co prawda nie trzeba liczyć bo to "się wie", ale gdybym chciał zapisać to analogicznie: Mamy dwie kule które możemy rozmieścić na 2! sposobów i: jedną białą na 1! sposobów, i jedną czarną na 1! sposobów, więc:

2!		2!
	=		= 2, tak?
1! * 1!		1!

Analogicznie, mamy dwie niebieskie, dwie czerwone i dwie zielone, na ile sposobów można je rozmieścić? Kul jest 6, więc na 6! sposobów. Dwie niebieskie = 2! sposobów, dwie czerwone na 2! sposobów i dwie zielone na 2! sposobów.

	6!
Co daje nam:		= 90
	2! * 2! * 2!

Czy znów palnąłem jakąś głupotę? Dziękuje za uczestnictwo w wątku.

Mila: 1) BBCCC Wybierasz dwa miejsca dla BB

5 2
	=10

2)Albo permutacje z powtórzeniami: 5 różnych elementów możesz ustawić na 5! sposobów, trzeba to podzielić przez 2! i 3! ponieważ przestawienia między białymi nie dają nowej sytuacji i tak samo przestawienia między czarnymi. 3) BC masz dwa różne elementy: 2!=2 BCZ− 3!

	4!
BCZZ−
	2!

Mila:

	6!
NNCCZZ −		− jeżeli kule nie są ponumerowane
	2!*2!*2!

Bartek: Już jasne, dziękuje a co do podpunktu b) Jeżeli wylosowaliśmy dwie kule białe, to jakie jest p−sto, że pochodzą one z urny pierwszej? To nie będzie po prostu p−stwo mojego zdarzenia A? Czyli wyrzuciliśmy na kostce sześć oczek, więc losujemy pięciokrotnie, i mamy wylosować dwie kule białe z urny pierwszej?

1		62 * 23
	* 10 *		?
6		85

Mila: Trzeba zastosować wzór Bayesa. b) Jeżeli wylosowaliśmy dwie kule białe, to jakie jest p−sto, że pochodzą one z urny pierwszej? Dasz radę, czy trzeba pomóc.

Bartek: Więc w takim razie chwilowo się zatrzymam na tym co zrobiliśmy, ponieważ przygotowuje się do terminu poprawkowego do którego nie zostało mi wiele czasu. W tym terminie raczej nie pojawi się tw. Bayesa. Skupie się na tym co mi zostało do nauki, czyli prawdopodobieństwo geometryczne i zmienna losowa. Na chwile obecną dziękuje, a gdy starczy czasu to wrócę do tego zadania. Pozdrawiam

Mila: Dobrze