prawdopodobieństwo Bartek: Kule − zadania z prawdopodobieństwa. Pytałem już o te zadania, ale zrobiłem podstawowy błąd − nie uznałem że kule są ponumerowane! 376831 Przypominając treść: 1. W urnie jest 8 ponumerowanych kul białych i 4 ponumerowane kule czarne. Losujemy 3 kule bez zwrotu. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze: a) wsród wylosowanych kul będzie 1 kula czarna b) wylosowane kule beda miały same parzyste numery.

	12!
|Ω| =		= 1320
	(12−3)!

a) wsród wylosowanych kul będzie 1 kula czarna,

	4!
Z czterech czarnych losuje jedną czarną:		= 4
	(4−1)!

	8!
dobieram dwie z ośmiu białych:		= 7*6 = 42
	(8−2)!

	4*42		168
P(A) =		=
	1320		1320

b) wylosowane kule beda miały same parzyste numery. Kul z numerami parzystymi jest 6:

	6!		120
B =		! = 4*5*6 = 120 . P(B) =
	(6−3)		1320

2. W urnie jest 5 ponumerowanych kul zielonych, 10 ponumerowanych kul niebieskich i 2 czerwone. Losowaliśmy 3 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze: a) wylosowalismy kule w 3 kolorach b) wylosowaliśmy kule w jednym kolorze.

	17!
|Ω| =		= 15*16*17 = 4080
	(17−3)!

a) wylosowalismy kule w 3 kolorach, Losuje jedną zieloną, jedną niebieską i jedną czerwoną:

	5!		5!
Zielona −>		=		= 5
	(5−1)!		4!

	10!
Niebieska −>		= 10
	9!

	2!
Czerwona −>		= 2
	1!

	100
P(A) =
	4080

b) wylosowaliśmy kule w jednym kolorze. Losujemy: 3 zielone, lub 3 niebieskie lub 3 czerwone (UWAGA czerwonych jest dwie)

	5!		10!
B =		+		+ 0 = (3*4*5) + (8*9*10) = 780
	(5−3)!		(10−3)!

	780
P(B) =
	4080

Proszę o sprawdzenie. Dodatkowo, jak w obydwóch zadaniach opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω?

Blee: A od kiedy 8!+6! = 7*6

Blee: Mialo byc 8!/6!

Blee: No i podstawowy blad: Tak zbudowane omegi uwzgledniaja KOLEJNOSC losowania natomiast zdarzenia juz tejze kolejnosci nie uwzgledniaja, wiec dla Ciebie w (a) uklady: Biala, biala i czarna to to samo co czarna, biala, biala Natomiast w omedze to sa dwa rozne przypadki

Blee: Dotyczy obu zadan, podpunkty (a)

Bartek: Tak, błąd 8!/6! = 7*8 = 56 Blee, czyli musiałbym to wymnożyć przez 3! jeszcze?

Pytający: Poprawiony link: 376831. (potrójny nawias kwadratowy; podwójny jest do linkowania materiałów ze strony, nie zadań z forum) Zanim do zadań, musisz pojąć, że w obu sposobach przez Ciebie użytych elementy są rozróżnialne. Różnica polega na uwzględnianiu bądź nie kolejności tychże elementów. • Jeśli rozpatrujesz zbiory, kolejność nie ma znaczenia. Zbiory {a,b} i {b,a} to jeden i ten sam zbiór. Oczywiście elementy są rozróżnialne (a≠b). • Jeśli rozpatrujesz ciągi, kolejność ma znaczenie. Ciągi (a,b), (b,a) to dwa różne ciągi. Oczywiście elementy są rozróżnialne (a≠b). 1. "W urnie jest 8 ponumerowanych kul białych i 4 ponumerowane kule czarne. " Znaczy mamy 12−elementowy zbiór kul (to, że niektóre kule są tego samego koloru nie zmienia faktu, że wszystkie kule są rozróżnialne) K={b₁,b₂,b₃,b₄,b₅,b₆,b₇,b₈,c₁,c₂,c₃,c₄} "Losujemy 3 kule bez zwrotu." Nic nie sugeruje, aby kolejność miała znaczenie, ale można liczyć i uwzględniając kolejność. • Kolejność bez znaczenia: Ω jest zbiorem 3−elementowych podzbiorów 12−elementowego zbioru kul K.

	12 3
Wtedy |Ω|=		. // przykładowo: {b1,b2,c1}∊Ω

• Kolejność ma znaczenie: Ω jest zbiorem 3−wyrazowych ciągów o różnych wyrazach (bez powtórzeń) należących do 12−elementowego zbioru kul.

	12!		12 3
Wtedy |Ω|=12*11*10=		=		*3! // każdemu 3−elementowemu podzbiorowi zbioru K
	9!

odpowiada tu 3!=6 różnych ciągów, przykładowo zamiast {b₁,b₂,c₁} tu masz 6 ciągów: (b₁,b₂,c₁)∊Ω (b₁,c₁,b₂)∊Ω (b₂,b₁,c₁)∊Ω (b₂,c₁,b₁)∊Ω (c₁,b₁,b₂)∊Ω (c₁,b₂,b₁)∊Ω a) wśród wylosowanych kul będzie 1 kula czarna

	|A|		4 1 8 2		4 1 8 2   *3!		28
P(A)=		=		=		=
	|Ω|		12 3		12 3   *3!		55

// to samo bez względu na (nie)uwzględnianie kolejności b) wylosowane kule beda miały same parzyste numery Tak naprawdę nie do policzenia, bo w treści nie ma mowy, w jaki sposób te kule są ponumerowane. Wyżej ponumerowałem po kolei, ale to tylko moje widzimisię. Zatem przy założeniu, że 6 z 12 kul ma parzysty numer:

	|B|		6 3		6 3   *3!		1
P(B)=		=		=		=
	|Ω|		12 3		12 3   *3!		11

2.

	17 3
• |Ω|=		// kolejność bez znaczenia

	17!		17 3
• |Ω|=17*16*15=		=		*3! // kolejność ma znaczenie
	14!

a) wylosowalismy kule w 3 kolorach

	|A|		10 1 5 1 2 1
P(A)=		=		=
	|Ω|		17 3

	10 1 5 1 2 1   *3!		5
=		=
	17 3   *3!		34

b) wylosowaliśmy kule w jednym kolorze

	|B|		10 3   5 3   +		10 3   5 3   ( + )*3!		13
P(B)=		=		=		=
	|Ω|		17 3		17 3   *3!		68

3. // z linku

	10 4
• |Ω|=		// kolejność bez znaczenia

	10!		10 4
• |Ω|=10*9*8*7=		=		*4! // kolejność ma znaczenie
	16!

a) wylosowaliśmy co najmniej jedną kule z numerem parzystym

	5 4		5 4   *4!		1
P(A)=1−P(A')=1−		=1−		=
	10 4		10 4   *4!		42

b) numer DRUGIEJ wylosowanej kuli jest o dwa większy od numery pierwszej kuli // tu już kolejność trzeba uwzględnić (a nie tylko można), więc pierwsza "wersja" omegi odpada

	8 2   8* *2!		4
P(B)=		=
	10 4   *4!		45

8 // tyle jest różnych możliwości dla pierwszych 2 liczb: (1,3),(2,4),...,(8,10)

8 2
	// wybór 2 liczb z pozostałych liczb

2! // rozmieszczenie tych wybranych liczb na 2 ostatnich pozycjach I pisz po jednym zadaniu w wątku − robi się mniejszy śmietnik i mniej takich krótkich postów.

Pytający: Poprawka: 3.a)

	1		41
P(A)=...=1−		=
	42		42

Bartek: Pytający bardzo bardzo bardzo dziękuje za tą odpowiedź! Jeszcze raz przerobie te zadania i dokładnie nad nimi się zastanowię Jeszcze mam pytanie, gdybym chciał opisać Ω to: w zadaniu nr 1 (zakładamy, że kule numerowane są od 1 do 12) Ω={(b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆, b₇,b₈,c₁,c₂,c₃,c₄)} czy: Ω={(b_i, c_j) : i∊(1,..8}, j∊(1,..,4)} czy w ogóle inaczej? a w zadaniu nr 3: K=(k₁, k₂, k₃, k₄, k₅, k₆, k₇, k₈, k₉, k₁0) Ω ∊ K bądź po prostu Ω={(k₁, k₂, k₃, k₄, k₅, k₆, k₇, k₈, k₉, k₁₀)} czy też całkiem inaczej? Zawsze miałem problem z opisywaniem tej omegi, może jakieś wskazówki? Pozdrawiam

Pytający: Problem masz bardziej z pojęciami takimi jak zbiór, podzbiór, ciąg i oznaczeniami z nimi powiązanymi niż z samym określeniem Ω (trudno zabierać się za określanie zbioru Ω, jeśli zbiory same w sobie są problematyczne). Wyżej jakieś bzdury powypisywałeś. Niżej przytoczę to, co już napisałem w pierwszym zadaniu, ale z zapisem symbolicznym: K={b₁,b₂,b₃,b₄,b₅,b₆,b₇,b₈,c₁,c₂,c₃,c₄} • Kolejność bez znaczenia: Ω jest zbiorem 3−elementowych podzbiorów 12−elementowego zbioru kul K. Ω={X⊆K: |X|=3} Ω jest zbiorem X−ów zawierających się w K takich, że X jest 3−elementowy. • Kolejność ma znaczenie: Ω jest zbiorem 3−wyrazowych ciągów o różnych wyrazach (bez powtórzeń) należących do 12−elementowego zbioru kul. Ω={(a₁,a₂,a₃)∊K³: ∀_{i,j∊{1,2,3}} i≠j ⇒ a_i≠a_j} Ω jest zbiorem trójek uporządkowanych o wyrazach należących do K takich, że wszystkie wyrazy są parami różne.

Bartek: Dziękuje. No cóż, muszę przy tym przysiąść, przypomnieć sobie te pojęcia i może już nie będę się mylił. Wielkie podziękowania ślę raz jeszcze