prawdopodobieństwo, kule Bartek: Kilka zadań z prawdopodobieństwa. 1. W urnie jest 8 ponumerowanych kul białych i 4 ponumerowane kule czarne. Losujemy 3 kule bez zwrotu. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze: a) wsród wylosowanych kul bedzie 1 kula czarna, b) wylosowane kule beda miały same parzyste numery. Ze bez zwrotu to:

	12 3
|Ω| =		= 220

	4 1
a)		* {8}{2} = 4 * 28 = 112

	112
P(A) =
	220

Dlatego że, losuje jedną czarną kule z czterech czarnych, następnie dobieram dwie kule z 8 białych.

	6 3
b) kul z numerami parzystymi jest 6, więc to będzie		?

	40
P(B) =		?
	220

Z 2. W urnie jest 5 ponumerowanych kul zielonych, 10 ponumerowanych kul niebieskich i 2 czerwone. Losowaliśmy 3 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze: a) wylosowalismy kule w 3 kolorach, b) wylosowaliśmy kule w jednym kolorze.

	12 3
|Ω| =		= 220

	5 1		10 1		2 1
a) A =		*		*

bo losuje jedną zieloną z pięciu, 1 niebieską z 10 i 1 z dwóch czerwonych. P(A) = (5*10*2)/220 = 100/220 b) Tutaj wydaje mi się że, wylosowaliśmy 3 zielone, lub 3 niebieskie, lub 3 czerwone. Jako że czerwonych kul nie ma 3 tylko są dwie, więc jest to zdarzenie niemożliwe, w takim razie p−stwo wyniesie P(B) = 0 ? A gdyby kul czerwonych było trzy, to sumuje te zdarzenia?

5 3		10 3		3 3
	+		+		?

Z3. W urnie znajduje się 10 kul ponumerowanych numerami 1−10, losujemy kolejno i bez zwrotu 4 kule. a) wylosowaliśmy co najmniej jedną kule z numerem parzystym. b) numer DRUGIEJ wylosowanej kuli jest o dwa większy od numery pierwszej kuli. Obliczyć P(A), P(B) oraz P(B|A')

	10 4
|Ω| =		= 210

a) Tutaj bym wyliczył zdarzenie przeciwne, czyli nie wylosowaliśmy kuli z numerem nieparzystym.

	5 4		5		210		5
Nieparzystych jest 5, więc A' =		= 5 P(A) = 1−		=		−		=
			210		210		210

	205
	210

b) Czyli mamy możliwości: (8,10), (7,9), (6,8), (5, 7), (4,6), (3,5), (2,4), (1,3)

	8
P(B) =		?
	210

Na koniec P(B|A') zrobił bym to tak, że część wspólna to conajmniej jedna kula z numerem parzystym i numer drugiej kuli jest większy o dwa od pierwszej. Według mnie te możliwości to: (8,10), (6,8), (4,6), (2,4)

	4
Więc P(AnB) =
	210

	4210
P(B|A') =
	8210

Bardzo proszę o sprawdzenie i ewentualne poprawienie

Jerzy: Zad 2b.Czy wylosowanie 3 kul zielonych lub niebieskich jest niemożliwym.

Bartek:

	5 3		10 3
Jest możliwe, więc		+		+ 0?

Jerzy: Tak.

Bartek: Dziękuje, a jak z zadaniem 3? Bo tutaj mialem najwięcej wątpliwości :c

Sushi: 3. Wypisz ręcznie wszystkie możliwe czwórki liczb nieparzystych A potem porównaj z tym co Tonie wyszło (5sztuk)

Bartek: "Wypisz ręcznie wszystkie możliwe czwórki liczb nieparzystych" Czy chodzi Ci o to, że pomyłkowo wypisałem parzyste? W takim razie: (7,9), (5,7), (3,5), (1,3) Wynik mimo wszystko taki sam, bo nieparzystych jest tyle samo co parzystych. I dlaczego 5 sztuk? nie rozumiem

Sushi: 3a. Wypisz czwórki a nie dwójki, (czy numer PINu do karty bankomatowej − to czy kolejność jest ważna)

Bartek: Aaa, już wiem, przecież losujemy cztery kule.. Wypisanie ręcznie tego to problem, bo jest bardzo dużo możliwości, ponieważ one są ponumerowane, czyli sposobów na wypisanie jest 5⁴ ? W takim razie czy podpunkt a) jest źle wyliczony? Co do b) numer drugiej jest o dwa większy od numeru pierwszej kuli. (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,3,5,2), (1,3,5,4), (1,3,4,5), (1,3,5,6), (1,3,6,5)... itd, tutaj tez tych możliwości ogrom. Możliwości do tego, aby numer drugiej kuli był o 2 większy jest 4: (7,9), (5,7), (3,5), (1,3) ale do każdego losowania brakuje mi dwóch kul które mogę ustawić na 8² sposobów? Proszę o pomoc..

Bartek:

	8 2
sory, rozróżniamy jest więc możemy ustawić na		?

Sushi: Jak rozróźniasz, to gdzie kombinacje

Sushi: 3a. Nie powtarzają, to masz 5*4*3*2=........ Tak samo moc omega 10*9*8*7=...

Bartek: Nie rozumiem chyba, według mnie podpunkt a) policzyłem dobrze. Bardzo proszę o rozpisanie mi dokładniej jak to powinno być.

Bartek: ehh, już chyba wiem, pierwsze i drugie zadanie ta to tez mam źle, bo to są wariacje bez powtórzeń. dzięki Sushi! Więc wracając do zadania 3.

	10!
Więc moc Ω to		= 7*8*9*10 = 5040
	6!

a) wylosowaliśmy co najmniej jedną kule z numerem nieparzystym:

	5!
więc		= 5*4*3*2 = 120
	1!

	120
P(A) =
	5040

zgadza się?

Bartek: co do b) czyli druga o dwa większa od pierwszej

	8!
zaczynamy od (1,3), dodatkowo losujemy dwie kule bez powtórzeń z 8 pozostałych, czyli
	6!

= 56 czyli jest 57 możliwości, bo dodaje to (1,3) Wszystkie opcje to (8,10), (7,9), (6,8), (5, 7), (4,6), (3,5), (2,4), (1,3), do których oczywiście musimy dobrać te dwie kule. Łącznie nam to daje 57*8=456

	456
Więc P(B) =		?
	5040

Sushi: Z jakiej racji dodajesz do 56 jedynkę?

Bartek: bo pierwsza możliwość to dwie kule (1,3) − stąd mam tą jedynkę pozostały mi dwie kule do wylosowania czyli 56 możliwości. Czy tego nie uwzględniam?

Sushi: Kolejna wskazówka Rzucasz dwa razy kostka. Za pierwszym razem wypadło 2. Ile masz możliwości (wypisz je), a potem zastanów się co napisałem wcześniej.

Bartek: jeżeli za pierwszy razem wypadło 2 to możliwości są następujące: (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) pomijając to, że mógłbym np za każdym razem wyrzucać (2,1) czyli możliwości mam 6.. a jeżeli tymi dwoma kostkami bym rzucał 4 razy, to możliwości bym miał 24. Tak więc w moim zadaniu jest 8*56 możliwości?

Bartek: Co do zadania pierwszego i drugiego(pomijając to, że źle wyliczyłem omegę) to byłyby one dobrze policzone, gdyby kule były nie ponumerowane?

Sushi: Odp na moje pytanie, to 6. Twoje dalsze wywody to bełkot. Co do zadania to 8(bo tyle możliwości z przodu) * 56 (dwie pozostałe liczby)

Bartek: Sushi odpowiedziałem, że możliwości mamy 6 według mnie: (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) czy to jest błędna odpowiedź?

Sushi: Zad 1 i 2 można wtedy zrobić z drzewka i zobaczyć co wyjdzie, a nie szastać wzorami nie wiedzieć co wyjdzie

Sushi: Przecież potwierdziłem, ze wynik to 6. Ale dorzuciłeś coś extra co nazwałem bełkotem i ta liczba 24.

Bartek: sory mój błąd. Co do drzewek to nie wiem jak będzie to uwzględniane na kolokwium, tak więc wole robić wzorami. Poprawię te poprzednie zadania i zamieszczę odpowiedzi, aby zweryfikować czy już to umiem. Bardzo Ci dziękuje za pomoc.

Sushi: Pamiętaj każdy wzór, możesz zamienić na mniejsze liczby aby sprawdzić , tak jak na moim ostatnim przykładzie. Stosując wzór, nie masz rozeznania co wyjdzie. To tak samo jak masz 6 pięter i 8 osób − na ile sposobów mogą wysiąść osoby z windy.

Bartek: To jest na zasadzie: na ile sposobów k ponumerowanych kul (tutaj osoby) możemy ułożyć w n ponumerowanych komórkach(piętra). n^k = 6⁸

Mila: 3) X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Losujemy 4 kule

	10 4
|Ω|=		=210

a) A− wylosowano co najmniej jedną kulę z numerem parzystym A' − wylosowano 4 kule z numerem nieparzystym

	5 4
|A'|=		=5

	5		205		41
P(A')=1−		=		=
	210		210		42

To samo otrzymasz , jeżeli uwzględnisz kolejność |Ω|=10*9*8*7 |A'|=5*4*3*2=120

	120		12		1
P(a")=		=		=
	10*9*8*7		9*8*7		42

	1		41
P(A)=1−		=
	42		42

b) B− numer DRUGIEJ wylosowanej kuli jest o dwa większy od numery pierwszej kuli. Pojedyncze zdarzenie : (1,3,X,Y) , gdzie X,Y wylosowano z pozostałych 8 kul B={(1,3,X,Y), (3,5,X,Y), (5,7,X,Y),(7,9,X,Y)} W zdarzeniach ważna kolejność: A' − wylosowano 4 kule z numerem nieparzystym |A'|=5*4*3*2 uwzględniamy kolejność A'∩B −wylosowano kule z numerami nieparzystymi i numer drugiej kuli jest o dwa większy od numeru pierwszej kuli A'∩B={(1,3,5,7),(1,3,7,5),(1,3,5,9), (1,3,9,5),(1,3,7,9),(1,3,9,7), (3,5,7,9), ............(7,9,5,3)....} |A'∩B|=4*3*2

	24		1
P(B/A')=		=
	120		5

Sushi: A jak ktoś nie wie to ma do wyboru 6⁸ lub 8⁶. Wtedy można zrobić 2 piętra i 3 osoby —> policzyć na piechotę i potem podać odpowiedz do zadania. Tutaj możemy tez zastosować regule mnożenia i kreski. Tak samo jak masz kulki i pojemniki.

Mila: Nie patrz tam na zbiór B ={...} (23:02) bo już pisałam dla nieparzystych. Nie zauważyłam w tym gąszczu komentarzy, że w (3) trzeba obliczyć P(B) B={(1,3,X,Y), (2,4,XY),(3,5,X,Y),(4,6,X,Y), (5,7,X,Y),(6,8,X,Y),(7,9,X,Y), (8,10,X,Y)} gdzie X,Y wylosowano z pozostałych 8 kul w każdym przypadku |B|=8*8*7

	8*8*7		8		4
P(B)=		=		=
	10*9*8*7		90		45

Bartek: Dziękuje Mila, dziękuje Sushi. Mila, już się biorę za przeglądanie tego co napisałaś. Co do dwóch pierwszych zadań to rozpisałem je ponownie tu: 376849

Pytający: Poprawiony link: 376849